Question

 $f(x) =\begin{cases}\frac{1}{10^n},  & \text{ eğer } x \in(2^{-(n+1)},2^{-n}) \text{ ise}\\[2ex] 0, & \text{ eğer }x=0\text{ ise}\end{cases}$

ise 

$\int_{0}^{1} f(x)\;dx$ nedir, bu integral alinabilir mi?

Comments

aralarda if kalmis.. "if~eger"

Answer 1

Fonksiyon $[0,1]$  aralığında, hemen hemen her yerde sürekli olduğundan, Riemann integrallenendir.

$$\int_0^1 f(x)dx= \sum_{n=0}^\infty \int_{2^{-(n+1)}}^{2^{-n}}f(x)dx= \sum_{n=0}^\infty \int_{2^{-(n+1)}}^{2^{-n}}10^{-n}dx$$

$$= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{10^n}(\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^{n+1}})= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{20})^n=\frac{1}{2}\frac{1}{1-1/20}=\frac{10}{19}$$