$a\in\mathbb{R}$ olmak üzere $$\lim\limits_{x\to a}e^x=e^a$$ olduğunu nasıl gösterebiliriz?

Question

Süreklilik kavramını bilmediğimizi varsayıyorum.

Comments

Biraz fikir verebilir misiniz, geçenlerdeki diferansiyel sorunuzda da farklı bir açıya dem vurmuştunuz ama bu açıyı biraz belirtmediğinizde elementer analiz ile karışıyor, tam olarak nasıl bir gösterim arıyorsunuz?

---

Anıl soru açık değil mi?

$$\lim\limits_{x\to a}e^x=e^a$$ olduğunun ispatlanması isteniyor.

---

burada da açık sandım yaptım ama istenen cevap degıldı "sanırım"

http://matkafasi.com/76765/diferansiyel-nedir-tam-olarak-tanimi-nasil-yapilir


Ben bir şeyler yazmaya çalıştım cevaba.

Answer 1

Eğer 

$\lim\limits_{y\to b}\left[\lim\limits_{x\to a}f\right]=\lim\limits_{x\to a}\left[\lim\limits_{y\to b}f\right]$ yapabilirsek,


$e^x=\lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$  oldugundan


$\lim\limits_{x\to a}e^x=\lim\limits_{x\to a} \left[\lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n\right]=\lim\limits_{n\to \infty}\left[\lim\limits_{x\to a}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n\right]=\lim\limits_{n\to \infty}\left[\left(1+\dfrac{a}{n}\right)^n\right]=e^a$

ve

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\to a}e^x=e^a}}$  gösterilmiş olur.

Comments

En usttteki limitlerin ici $f(x,y)$ olacak herhalde, yoksa $y$ bosa isler. Ayrica bu her zaman dogru degil $(x^2-y^2)/(x^2+y^2)$ ve $(x,y)=(0,0)$ icin deneyebilirsin. 

---

ben bu şekil gösteririm başkası o şekil, şu şekil....

---

bu arada, haklısınız , ama ben başka türlü gösteremedim , üsteki limit tanımlarını falan karıştırmadan direk yaptıgım eylemler dogru bır gosterım mıdır?

---

genel gosterımı duzelttım.ters ornekte haklısınız ama farklı bir durum var  heralde ,sanırım,burada.

---

$f(x)=e^x$ "fonksiyonunun"  $x=0$ noktasinda surekli oldugunu gostermek yeterli. Cunku $|e^x-e^a|=e^a|e^{x-a}-1|$ olur. Haliyle biri icin her epsilon icin uygun delta varsa digeri icin de olmali. 

Verilen her $\epsilon>0$ icin oyle bir $\delta=\cdots>0$ vardir ki

$$|x| <\delta$$ icin $$|e^x-1|=\cdots < \epsilon$$ olur. 


Ek yontem/ipucu olarak da  $x$ sifira cok yakinsa $(1\pm x/n)^n \ge 1 \pm x>0$ olur. Fakat bunu da kullanabilir miyiz, nasil gosterebiliriz, bu da onemli.

---

benım yontemım de iş görür .çünki $f(x,y)$ için düşünsek bile $e^x$ hiçbir zaman 0 olmadığından yukardaki genellememi $e^x$ için rahatlıkla özelleştirebiliyorum.

---

Nasil garantiliyorsun bu esitligi?            

---

tanım aralıgında , tanımsız ve belirsiz noktalar olmamasından.


$g=e^{f(x)}$         $f:A\to B$

$g:A\to B\to C$ gibi olsun

ve $B$ den devam ettıgımız reel sayı ne olursa olsun $e^x:\mathbb R \to \mathbb R$  oldugundan

yukardaki eşitliği varsayabilirim çünki her epsilon ve delta için bir sayı bulunur.

---

ispatin ya da referansin var mi peki? yoksa sadece varsayim mi?

---

hocam referansı nereden buluyum, iddiam bu şekilde, kitapta okurken karşıma çıkan soru değil ki veya gördüğüm bir teorem."sanırım bunun altına daha yorum gelmiyecek ve büyük bir sessizliğe gömülecek bu cevap ta"

---

"Iddialara cozum yapmak iyi degildir. Yeteri kadar destegi olmayan iddialarla yorum da yapmak iyi degildir." Bu dusunceme ne diyorsun?

---

haklısın hocam, saglam destegım oldugunda sonuna kadar gidiyorum zaten . cevap olarak bir gösterimini siz yapmanızı isterim, bu tam dogru degılse daha dogru bır cevap guzel olur.

---

de mi hocacıgım?