Processing math: 1%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
4.5k kez görüntülendi

1f: [0,1] \to \mathbb R surekli olsun. (Bu durumda Riemann integrallenebilir).  P_n parcalanisi da uc noktalari \left\{x_i=\frac{i}{n} \:\bigg| i=0,1,\cdots,n \:\right\} olan parcalanis olsun. Bu durumda her zaman \int_{[0,1]}f =\lim_{n\to \infty}\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{n}f\left(\frac{i}{n}\right) esitligi saglanir mi? 

Ek: Sureksiz bir f fonksiyonu icin esit olmak zorunda degil. Dirichlet fonksiyonu buna ornek. 

Soruya Ekleme: (Buradan ispati yakalayabilir miyiz?)

Teorem: 

f: [a,b] \to \mathbb R fonksiyonu surekli ise Riemann integrallenebilir.


Ispat:

f fonksiyonu [a,b] araliginda surekli oldugundan sinirli ve duzenli surekli olur. 

\epsilon >0 verilsin.  f duzenli surekli oldugundan oyle bir \delta>0 degeri vardir ki  x,y \in [a,b] icin |x-y|<\delta sarti saglandiginda |f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{b-a} olur. 

Her k\in\{1,2,\cdots,n\} icin |I_k|<\delta olacak sekilde bir P=\{I_1,\cdots, I_n\} parcalanisi secelim.
(Not: Her \delta>0 icin n>(b-a)/\delta esitligini saglayan bir n dogal sayisi vardir). M_k=\sup_{I_k}f\;\;\; \text{ ve } \;\;\;m_k=\inf_{I_k}f olarak tanimlayalim.  Maksimum-Minimum teoreminden (f fonksiyonu [a,b] kapali araligi uzerinde surekli olduugundan) M_k=f(x_k) \;\;\; \text{ ve } \;\;\; m_k=f(y_k) olacak sekilde x_k,y_k \in I_k vardir. |I_k|<\delta oldugundan |x_k-y_k|<\delta olur.  Bu nedenle her k\in\{1,2,\cdots,n\} icinM_k-m_k=f(x_k)-f(y_k)<\epsilon/(b-a) olur. 

U(f,P)-L(f,P)=\sum_{k=1}^nM_k|I_k|-\sum_{k=1}^nm_k|I_k|=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)|I_k| <\frac{\epsilon}{b-a}\sum_{k=1}^n|I_k|=\epsilon olur. Dolayisiyla U(f)=L(f) olur, yani f Riemann integrallenebilir. 

Serbest kategorisinde (25.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 4.5k kez görüntülendi

\displaystyle\int_{[0,1]} ne demek?

\int_0^1f ya da \int_0^1 f(x)dx. Üçü de ayni integralin notasyonu.

bence her zaman sağlanır, ters örnek ve tanımda bir sıkıntı bulamadım. Bu arada \dfrac{1}{n}=\triangle x gibi yazabiliriz değil mi?

\bigg|[\frac in,\frac{i+1}{n}]\bigg|=\frac1n.

http://matkafasi.com/37443/int_-2dx-lim-limits_-to-infty-frac1n-sum_-left-frac-right-2%24%24#a37811

de f(x)=x^2 için ispatı var. Genel durumun ispatı da çok farklı değil, ama "kapalı ve sınırlı bir aralıklta sürekli olan fonksiyonların aynı aralıkta düzgün sürekli olduğu" teoremine gereksinim var.

Yanlış hatırlamıyorsam fonksiyon [0,1] aralığı üzerinde sonlu tane noktada süreksiz olsa bile bu eşitlik sağlanıyor.

Murad hocam bi ispat alalim :)

Sabit f(x) = 1 fonksiyonu için sağlanıyor mu bu?

Evet. \lim 1=1.

Soruyu i=0'dan baslatmisim. Su an 1'e cektim, olmasi gerektigi gibi. Eski durumda da \lim\frac{n+1}{n}=1 olurdu.

i ile n'yi karıştırmışım, pardon. Sağ tarafı harmonik dizi sandım o yüzden verdiğim örnekte.

f, (bir [a,b] aralığında) sonlu sayıda nokta dışında sürekli ve SINIRLI ise f,\ [a,b] aralığında Riemann integrallenebilirdir. (Daha da genel olarak, sınırlı ve süreksiz olduğu noktalar kümesinin Lebesgue ölçümü 0 ise Riemann integrallenebilirdir). Ama bunu ispatı biraz daha uzundur.

f, Riemann integrallenebilir ise, bu eşitliğin doğru olduğunu, Darboux nun bir teoremini kullanarak, göstermek zor değil. (Örneğin Bartle-Sherbert: An Introduction to Real Analysis de dediklerimin çoğu var)

Sınırlılığı atlamışım.

Yani şunu demiş oluyoruz dimi: "Eğer bir fonksiyon bir kapalı aralıkta integrallenebilir ise, bu integralin değeri fonksiyonun aralıktaki rasyonel sayılarda aldığı değerlerin ortalamasıdır."

20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,096,727 kullanıcı