Sürekli bir $f$ fonksiyonu için $\int_{[0,1]}f =\lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{n}f\left(\frac{i}{n}\right)$ eşitliği her zaman sağlanır mı?

Question

1$f: [0,1] \to \mathbb R$ surekli olsun. (Bu durumda Riemann integrallenebilir).  $P_n$ parcalanisi da uc noktalari $$\left\{x_i=\frac{i}{n} \:\bigg| i=0,1,\cdots,n \:\right\}$$ olan parcalanis olsun. Bu durumda her zaman $$\int_{[0,1]}f =\lim_{n\to \infty}\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{n}f\left(\frac{i}{n}\right)$$ esitligi saglanir mi? 

Ek: Sureksiz bir $f$ fonksiyonu icin esit olmak zorunda degil. Dirichlet fonksiyonu buna ornek. 

Soruya Ekleme: (Buradan ispati yakalayabilir miyiz?)

Teorem: 

$f: [a,b] \to \mathbb R$ fonksiyonu surekli ise Riemann integrallenebilir.

Ispat:

$f$ fonksiyonu $[a,b]$ araliginda surekli oldugundan sinirli ve duzenli surekli olur. 

$\epsilon >0$ verilsin.  $f$ duzenli surekli oldugundan oyle bir $\delta>0$ degeri vardir ki  $x,y \in [a,b]$ icin $$|x-y|<\delta$$  sarti saglandiginda $$|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{b-a}$$ olur. 

Her $k\in\{1,2,\cdots,n\}$ icin $|I_k|<\delta$ olacak sekilde bir $P=\{I_1,\cdots, I_n\}$ parcalanisi secelim.
(Not: Her $\delta>0$ icin $n>(b-a)/\delta$ esitligini saglayan bir $n$ dogal sayisi vardir).  $$M_k=\sup_{I_k}f\;\;\; \text{ ve } \;\;\;m_k=\inf_{I_k}f$$ olarak tanimlayalim.  Maksimum-Minimum teoreminden ($f$ fonksiyonu $[a,b]$ kapali araligi uzerinde surekli olduugundan)  $$M_k=f(x_k) \;\;\; \text{ ve } \;\;\; m_k=f(y_k)$$ olacak sekilde $x_k,y_k \in I_k$ vardir. $|I_k|<\delta$ oldugundan $$|x_k-y_k|<\delta$$ olur.  Bu nedenle her $k\in\{1,2,\cdots,n\}$ icin $$M_k-m_k=f(x_k)-f(y_k)<\epsilon/(b-a)$$ olur. 

$$U(f,P)-L(f,P)=\sum_{k=1}^nM_k|I_k|-\sum_{k=1}^nm_k|I_k|=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)|I_k|$$ $$<\frac{\epsilon}{b-a}\sum_{k=1}^n|I_k|=\epsilon$$ olur. Dolayisiyla $$U(f)=L(f)$$ olur, yani $f$ Riemann integrallenebilir. 

Comments

$\displaystyle\int_{[0,1]}$ ne demek?

---

$\int_0^1f$ ya da $\int_0^1 f(x)dx$. Üçü de ayni integralin notasyonu.

---

bence her zaman sağlanır, ters örnek ve tanımda bir sıkıntı bulamadım. Bu arada $\dfrac{1}{n}=\triangle x$ gibi yazabiliriz değil mi?

---

$\bigg|[\frac in,\frac{i+1}{n}]\bigg|=\frac1n$.

---

http://matkafasi.com/37443/int_-2dx-lim-limits_-to-infty-frac1n-sum_-left-frac-right-2%24%24#a37811

de $f(x)=x^2$ için ispatı var. Genel durumun ispatı da çok farklı değil, ama "kapalı ve sınırlı bir aralıklta sürekli olan fonksiyonların aynı aralıkta düzgün sürekli olduğu" teoremine gereksinim var.

---

Yanlış hatırlamıyorsam fonksiyon $[0,1]$ aralığı üzerinde sonlu tane noktada süreksiz olsa bile bu eşitlik sağlanıyor.

---

Murad hocam bi ispat alalim :)

---

Sabit $f(x) = 1$ fonksiyonu için sağlanıyor mu bu?

---

Evet. $\lim 1=1$.

---

Soruyu $i=0$'dan baslatmisim. Su an $1$'e cektim, olmasi gerektigi gibi. Eski durumda da $\lim\frac{n+1}{n}=1$ olurdu.

---

$i$ ile $n$'yi karıştırmışım, pardon. Sağ tarafı harmonik dizi sandım o yüzden verdiğim örnekte.

---

$f$, (bir $[a,b]$ aralığında) sonlu sayıda nokta dışında sürekli ve SINIRLI ise $f,\ [a,b]$ aralığında Riemann integrallenebilirdir. (Daha da genel olarak, sınırlı ve süreksiz olduğu noktalar kümesinin Lebesgue ölçümü 0 ise Riemann integrallenebilirdir). Ama bunu ispatı biraz daha uzundur.

$f$, Riemann integrallenebilir ise, bu eşitliğin doğru olduğunu, Darboux nun bir teoremini kullanarak, göstermek zor değil. (Örneğin Bartle-Sherbert: An Introduction to Real Analysis de dediklerimin çoğu var)

---

Sınırlılığı atlamışım.

---

Yani şunu demiş oluyoruz dimi: "Eğer bir fonksiyon bir kapalı aralıkta integrallenebilir ise, bu integralin değeri fonksiyonun aralıktaki rasyonel sayılarda aldığı değerlerin ortalamasıdır."