$$\int_{0}^{1}x^2dx=\lim\limits_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2$$

Question

Kapalı bir aralıktan gerçel sayılara tanımlı sınırlı bir $f$ fonksiyonu için alt toplamların oluşturduğu kümenin supremumu, üst toplamların oluşturduğu kümenin infimumuna eşit olduğunda fonksiyona Riemann integrallenebilir denir şeklinde tanımladığımızda

$$\int_{0}^{1}x^2dx=\lim\limits_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2$$ olduğunu nasıl gösterebiliriz? 

Comments

Belirli integral için Riemann toplamı tanımını kullanabilirsiniz.

---

http://matkafasi.com/23509/#a24561 de ayni soru var. Bu (koşullar sağlandığında) standart bir teoremdir. (Soruda hala yazım hatalari var) 

---

Yazım hatalarını düzelttim. Ayrıca vermiş olduğunuz linkte bu sorunun genel hali sorulmuş ancak cevaplanmamış. Sizin de orada belirttiğiniz gibi o linkteki soruda $f$ Riemann anlamında integrallenebilir bir fonksiyon olmak üzere diye başlamalıydı soru.

---

Alt toplamların supremumu, üst toplamların infimumuna eşit ise

Answer 1

$A =  \inf\{U(f,P)\} =  \sup\{L(f,P)\}$, $P_n=\{0,\frac1n,\frac2n,\ldots,1\}$ olsun. (${f(x)=x^2}$ için) $U(f,P_n)=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\left( \frac  kn\right) ^{2}$ ve $L(f,P_n)=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\left( \frac   {k-1}{n}\right) ^{2}=\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}\left( \frac   kn\right) ^{2}$ olur. $\lim_{n\to\infty}U(f,P_n)=A$ olduğunu göstermek istiyoruz.

$U(f,P_n)\geq A \geq L(f,P_n)$ (neden?) ve $0\leq U(f,P_n)- L(f,P_n)\leq\frac1n$ (neden?) olur.

$\varepsilon>0$ verilsin. $N\in\mathbb{N},\ \frac1N<\varepsilon$ olacak şekilde seçelim.

Her $n\geq N$ için $|U(f,P_n)-A|<\varepsilon$ olur (neden?).