Question

Trigonometrik ifade olan  $asinx+bcosx=A$  gibi ifadeler için $A_{max}$ 'ı bulmak

Comments

Soru da vardi, cevap da.

---

bulamadım hocam yenıden yazıyım dedım, 2kere ıspatlamıştım ben.

---

3-4 ben ispatladim, Dogan hoca da ispatlamisti, Murad hoca da. 

Var oldugunu biliyorsan... Fakat turevle ispatlamis miydi ilmiyorum, daha elementer yolu oldugundan.

---

Sorunun çözümü Burada var

Answer 1

$asinx+bcosx=A$ ise


türev alalım 

$acosx-bsinx=A'$           $A'=0$ iken ekstremumları inceleyelim.


$acosx=bsinx$


$tanx=\dfrac{a}{b}$  olur




buradaki x değeri tüm ifadeyi maximum yapar,


$tanx=\dfrac{a}{b}$


$arctan\dfrac{a}{b}=x$ dir

hatta buna gerek kalmadan cosx ve sinx'i bu üçgen yardımı ile bulup ana ifadede yerine yazalım.


$sinx=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$


$cosx=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$asinx+bcosx=A$ ise


$\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{a^2+b^2}=A_{max}$

dolayısıyla


$-\sqrt{a^2+b^2}=A_{min}$                        (amin!!)

Comments

Çok teşekkür ederim 

---

rica ederim efendim

Answer 2

Şekildeki dikdörtgenden

$$asinx+bcosx\le \sqrt{a^2+b^2}$$ olduğu görülür.

Answer 3

$<,>$ ile standart iç çarpımı gösterelim ve $a$,$b$ sabit sayılar olsun.

$$f(x)=asinx+bcosx=<(a,b),(sinx,cosx)>=<\alpha,\beta>$$   olarak tanımlayalım. $\alpha$  ve $\beta$  vektörleri arasındaki açı $0$    iken $f_{maks}$  ve  $\pi$  iken  $f_{min}$  değerini elde ederiz. Buna göre $$f_{maks}=|\alpha||\beta|cos0=\sqrt{a^2+b^2}$$     $$f_{min}=|\alpha||\beta|cos\pi=-\sqrt{a^2+b^2}$$    bulunur.

Answer 4

Denklemde $sinx=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2i}=\dfrac{z-z^{-1}}{2i}$ ve $$cosx=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}=\dfrac{z+z^{-1}}{2}$$ olarak yazılır ve düzenlenirse $$(a+bi)z^2+(-2ci)z+bi-a=0$$   denklemi elde edilir. Köklerin mevcut olması için $\Delta\ge 0$ şartından $$b^2+a^2\ge c^2$$   $$-\sqrt{a^2+b^2}\le c\le  \sqrt{a^2+b^2}$$ bulunur.

Answer 5

Birim çember üzerindeki bir nokta $P(cosx,sinx)$ ve orijinden geçen bir dogru $ax+by=0$ olsun. $P$ noktasının doğruya uzaklığı orijine olan uzaklığından küçük eşit olacağından $$\dfrac{|acosx+bsinx|}{|\sqrt{a^2+b^2}|}\le 1$$  eşitsizliğinden istenen en büyük değer elde edilir.