$asinx+bcosx=c$ denklemi

Question

$a, b, c$ sabit sayıları için $$asinx+bcosx=c$$ lineer denkleminin çözümlerini bulunuz.

Comments

Soruyla İlgili soru

Answer 1

Denklemde  $cosx=\sqrt{1-sin^2x}$  yazılarak $sinx$ e göre $$(-b^2-a^2)sin^2x+2acsinx+b^2-c^2=0$$   kuadratik denklemi elde olunur.  Denklemin çözümünden $$sinx=\dfrac{-ac\pm b\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{a^2+b^2}$$   bulunur. Denklemin çözümünün olması için $$a^2+b^2\ge c^2$$   şartı vardır.

Comments

Merhaba Alper hocam. Soruda $-1\leq \frac{-ac\pm b\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{a^2+b^2}\leq1$  ya da buna denk olan bir koşul olması gerekmez mi?

---

Merhaba Mehmet hocam. Doğan hocanın cevabı yeterli sanırım. 

Answer 2

$a=b=0$ durumu: 

 $c=0$ ise her $x$ bir çözüm olur. 

$c\neq0$ ise hiç çözüm yoktur. 

 $(a,b)\neq(0,0)$ durumu: 

 Bu durumda $a^2+b^2\neq0$ olur. 

 Denklemi $\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x=\frac c{\sqrt{a^2+b^2}}$ şeklinde yazalım. 

 $\cos \alpha=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin\alpha=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}$ 

olacak şekilde ($[0,2\pi)$ aralığında tek) bir $\alpha$ alalım.

 $\sin(\alpha+x)=\frac c{\sqrt{a^2+b^2}}$ olur. 

 $|\frac c{\sqrt{a^2+b^2}}|>1$ ise çözüm yoktur. 

 $-1\leq\frac c{\sqrt{a^2+b^2}}\leq1$ ise 

 $\alpha+x=\left( \arcsin \frac c{\sqrt{a^2+b^2}}\right) +2n\pi$ veya $\alpha+x=\left( \pi-\arcsin \frac c{\sqrt{a^2+b^2}}\right) +2n\pi$ 

 Buradan da 

$x=\left( \arcsin \frac c{\sqrt{a^2+b^2}}-\alpha\right) +2n\pi$ veya $x=\left(- \arcsin \frac c{\sqrt{a^2+b^2}}-\alpha\right) +(2n+1)\pi$ 

 bulunur.

Comments

Çözümde karekökü unutmuşum ekledim.

(Teşekkürler Alpercay)

Answer 3

Denklemi $tan\dfrac{x}{2}$  nin fonksiyonu olarak yazarak da bir çözüm bulunabilir. Bunun için $sinx$  ve  $cosx$   yerine yarım açılarını yazalım:

$a.2sin\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2}+b.(cos^2\dfrac{x}{2}-sin^2\dfrac{x}{2})=c(cos^2\dfrac{x}{2}+sin^2\dfrac{x}{2})$      

Denklemin her yanı $cos^2\dfrac{x}{2}$  ile bölünür ve düzenlenirse

$$(b+c)tan^2\dfrac{x}{2}-2a.tan\dfrac{x}{2}+c-b=0$$   ikinci derece denklemi elde edilir. Denklemin çözümleri $$tan\dfrac{x}{2}=\dfrac{a\pm \sqrt{a^2+b^2-c^2}}{b+c}$$   eşitliğinden elde edilir.

Answer 4

GEOMETRİK ÇÖZÜM : $acosx+bsinx=c$ denkleminde $cosx=X$ ve $sinx=Y$ dersek $$aX+bY=c$$   doğru denklemini elde ederiz. Bu doğrunun $X^2+Y^2=1$ birim çemberini kestigi noktalar, aranan açıların bitim noktalarına karşılık gelir ve bu noktalarin apsisleri $cosx$ değerleridir. Şimdi $$Y=\dfrac{c-aX}{b}$$ değerini çember denkleminde yerine koyarsak $$(a^2+b^2)X^2-2acX+(c^2-b^2)=0$$ denklemi bulunur. Denklemin kökleri $X_1$  ve  $X_2$ ise $$cosx=X_1$$ ve  $$cosx=X_2$$ esitliklerinden istenen açılar bulunur.