(X,£), (Y,€) topolojik uzaylar, f : X→Y fonksiyonu verilsin. Eğer f fonksiyonu x noktasında sürekli ve x ∈ A¯,A ⊂ X ise f(x)∈ f(A)¯dır.

Question

f(A)¯ :  f(A) fonksiyonun kapanışı.

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

Comments

Bu soru ile buradaki soru aynı.

Answer 1

Sürekliliğin şu tanımını kullanalım:

$f$, $x \in X$ noktasında sürekliyse bir açık $V \subset Y$, $f(x) \in V$ için bir $U \subset X$ vardır öyle ki $x \in U$ ve $f(U) \subset V$.

Şimdi $x \in \bar{A} \subset X$ için rastgele bir $V \subset Y$ alalım öyle ki $V$, $Y$de açık  olsun. O zaman biliyorum ki açık bir $x \in U \subset X$ vardır öyle ki $f(U) \subset V$. $U$ açık bir küme ve $x$'i içeriyor aynı zamanda $x \in \bar{A}$ ise $U \cap A \neq \emptyset$ .(Kümenin kapanışı tanımından). 

O zaman $\emptyset \neq f(U) \cap f(A) \subset V \cap f(A)$. En başta $V$'yi rastgele bir açık küme olarak almıştık, elimizde $f(x) \in V$ ve $V \cap f(A) \neq \emptyset$ var o zaman diyebiliriz ki $f(x) \in$ $\overline{f(A)}$.