(X,£), (Y,€) iki topolojik uzay, f: X→Y bir fonksiyon olsun. A ⊆ X alt kümesi için f(A¯)⊆ f(A)¯ ise her K ∈ €′ için f −1 (K) ∈ £′ dır. Gösteriniz.

Question

f −1 : f fonksiyonun ters görüntüsü.

Comments

https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/LaTeX:Symbols

bu semboller sıze yardımcı olabılır

---

Sorunun sonundaki ifade $f^{-1}(K) \in$£ olmalı sanırım.

Answer 1

$K \subseteq Y$ açık bir küme olsun. Amacımız $f^{-1}(Y)$ kümesinin $X$'te açık olduğunu göstermek. 

$K \in €$ olsun. O zaman $Y\setminus K$ kapalıdır yani $Y\setminus K = \overline{ Y\setminus K}$.

$f^{-1}(Y\setminus K) \subseteq X \implies f(\overline{f^{-1}(Y\setminus K}) \subseteq \overline{f(f^{-1}(Y\setminus K)}$ olur varsayımımızdan dolayı. 

$\implies f(\overline{X \setminus f^{-1}(K)})=f(\overline{f^{-1}(Y\setminus K)})  \subseteq \overline{f(f^{-1}(Y\setminus K)}= \overline{Y \setminus K} =Y\setminus K$ 

elde ederiz çünkü biliyoruz ki $K$, € topolojisinin bir elemanı yani açık bir küme, tümleyeni kapalı olduğundan tümleyeni, tümleyeninin kapanışına eşit.

Son eşitlikte $f(\overline{X \setminus f^{-1}(K)})=Y\setminus K$ her iki tarafa da $f^{-1}$ uygularsak

$\overline{X \setminus f^{-1}(K)} \subseteq f^{-1}(Y\setminus K)=X\setminus f^{-1}(K)$ elde ederiz ki bu $X\setminus f^{-1}(K)$ £ topolojisinde kapalı demektir. O zaman tümleyeni $f^{-1}(K)$ açıktır, $f^{-1}(K) \in$ £.

Comments

Teşekkür ederim.