$\lim \sup_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin nx}{\sin \left( n+1\right) x}$

Question

$x$ sayısı $\pi$ nin bir rasyonel katı olmamak üzere; $\lim \sup_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin nx}{\sin \left( n+1\right) x}$ limiti var mıdır?

Comments

Yusuf Ünlü'ye güzel yanıtı için teşekkürler. Şimdi şöyle bir soru ortaya çıkıyor:

$\lim \sup_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin nx}{\sin\left( n+1\right) x}=\infty$

ve benzer şekilde görüleceği üzere,

$\lim \inf_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin nx}{\sin\left( n+1\right) x}=-\infty$

dır. Acaba herhangi bir reel sayı verildiğinde

$\frac{\sin nx}{\sin \left( n+1\right) x}$

dizisinin bu reel sayıya yakınsayan bir alt dizisi bulunabilir mi?

Answer 1

Sorunun çözümünde $\sin x>0$ varsayacağız.
$$\frac{\sin nx}{\sin \left( n+1\right) x}=\frac{1}{\sin x}\frac{1}{\cot x+\cot nx}$$
olduğuna dikkat edelim.

$k$ tam sayısı $k\pi <-x<\left( k+1\right) \pi$ olacak şekilde seçilsin. Bu durumda
$k<\frac{-x}{\pi }<k+1$ dir. $t=\frac{-x}{\pi }-k>0$ koyalım.  $\ \frac{x}{\pi }\mathbb{\ }$
irrasyonel olduğundan $D=\left\{ a+b\frac{x}{\pi }:a\in \mathbb{Z}\text{, }b\in \mathbb{N}\right\}$ kümesi
$\mathbb{R}$ de yoğundur. O halde
$$-\frac{t}{n}<a_{n}+b_{n}\frac{x}{\pi }<0$$
olacak şekilde $\left( a_{n}\right) \subset \mathbb{Z}$, $\left(b_{n}\right) \subset \mathbb{N}$ alt dizileri vardır.
$$k<-\frac{t}{n}-\frac{x}{\pi }<a_{n}+\frac{\left( b_{n}-1\right) x}{\pi }< \frac{-x}{\pi }$$
$$k\pi <-\frac{t\pi }{n}-x<a_{n}\pi +\left( b_{n}-1\right) x<-x$$
$$-\cot \left( \frac{t\pi }{n}+x\right) >\cot k_{n}x>-\cot x\Longrightarrow \cot x-\cot \left( \frac{t\pi }{n}+x\right) >\cot x+\cot k_{n}x>0$$
olur. Sonsuz sayıda  $n$  için $b_{n}>1$ dir. Böyle $n$ ler için $k_{n}=$ $b_{n}-1$ koyacak olursak
$$\frac{\sin k_{n}x}{\sin \left( k_{n}+1\right) x}=\frac{1}{\sin x}\frac{1}{ \cot x+\cot k_{n}x}\Longrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin k_{n}x}{\sin \left( k_{n}+1\right) x}=\infty$$
olur. Dolayısıyla $\lim \sup_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin nx}{\sin \left( n+1\right) x}=\infty$ dur. $\sin x<0$ olması durumunda  $\left( a_{n}\right) \subset \mathbb{Z}$, $\left( b_{n}\right) \subset \mathbb{N}$
dizileri $0<a_{n}+b_{n}\frac{x}{\pi }<\frac{t}{n}$ olacak şekilde seçilirse gene ayni sonuç elde edilir.