kn=[na2π] ve sn=[nb2π] olsun. Yeteri kadar büyük n∈N ler
için
kn≤na2π<nb2π<sn+1 ve na2π<kn+1≤sn≤nb2π
Dikkat edilecek olursa bu eşitsizliklerden
limn→∞(sn−kn−1)n=limn→∞(sn−kn+1)n=b−a2π%
elde edilir.
In=b∫a|sin(nx)|dx=1nnb∫na|sinx|dx
dir. O halde
1n2πsn∫2π(kn+1)|sinx|dx≤In≤1n2π(sn+1)∫2πkn|sinx|dx
|sinx| fonksiyonunun 2π periyotlu
olduğu göz önüne alınırsa
(sn−kn−1)n2π∫0|sinx|dx≤In≤(sn−kn+1)n2π∫0|sinx|dx
bulunur. Buradan 2π∫0|sinx|dx=4
olduğundan
limn→∞b∫a|sin(nx)|dx=2(b−a)π
elde edilir.