$\frac{\sin nx}{\sin \left( n+1\right) x}$ dizisinin herhangi reel sayıya yakınsayan alt dizileri bulunabilir mi?

Question

Daha önce bu dizinin üst limiti var mıdır diye sormuştum. Yusuf Ünlü

$\lim \sup_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin nx}{\sin\left( n+1\right) x}=\infty$

olduğunu göstererek soruyu çözdü. Çözümünden benzer şekilde,

$\lim \inf_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin nx}{\sin\left( n+1\right) x}=-\infty$

olduğu görülebilir. Şimdi şöyle bir soru sorulabilir, acaba herhangi bir reel sayı verildiğinde

$\frac{\sin nx}{\sin \left( n+1\right) x}$

dizisinin bu reel sayıya yakınsayan bir alt dizisi bulunabilir mi?

Answer 1

$a$ bir irrasyonel sayı olmak üzere, $x=a\pi$ için

$F_{n}\left( x\right) =\frac{\sin \left( n+1\right) x}{\sin nx}$, ( $n=1,2,3,...$)

dizisinin limit noktaları kümesinin $\left( -\infty ,\infty \right)$ aralığı olduğunu göstermek yeterlidir.

( $x=r\pi$ ve $r$ rasyonel olursa, $F_{n}\left( x\right)$ dizisinin sonsuz teriminin paydası sıfır olur).
$$\begin{equation*} F_{n}\left( x\right) =\cos x+\sin x\frac{\cos nx}{\sin nx} \end{equation*}$$
yazabiliriz. $x=a\pi$ ve $a$ irrasyonel olduğundan, $\sin x\neq 0$ olur. O halde problemi çözmek için $\frac{\cos nx}{\sin nx}$, ( $n=1,2,3,...$) dizisinin limit noktaları kümesinin $\left( -\infty ,\infty \right)$ aralığı olduğunu göstermek yeter.

Herhangi $\alpha \in \left[ -1,1\right]$ alalım. $\sin y=\alpha$ olacak şekilde bir tek $y\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ vardır.

$a=\frac{x}{\pi }$ irrasyonel olduğundan, $\left\{ na+k\right\} ,$ ( $n\in \mathbb{N}$, $k\in \mathbb{Z}$) kümesi $\mathbb{R}$ de yoğundur.

O halde, her $n\in \mathbb{N}$ için
$$\begin{equation*} \frac{1}{2\pi }y<p_{n}a+q_{n}<\frac{1}{2\pi }\left( y+\frac{1}{n}\right) \end{equation*}$$
sağlanacak şekilde $p_{n}\in \mathbb{N}$ ve $q_{n}\in \mathbb{Z}$ vardır.

Buradan
$$\begin{equation*} 0<\left\vert y-2\pi \left( p_{n}a+q_{n}\right) \right\vert <\frac{1}{n} \end{equation*}$$
olur. Şimdi, $\left\vert \sin u-\sin v\right\vert \leq \left\vert u-v\right\vert$ kullanılırsa,
$$\begin{eqnarray*} 0 &\leq &\left\vert \alpha -\sin \left( 2\pi ap_{n}\right) \right\vert =\left\vert \sin y-\sin \left( 2\pi ap_{n}+2\pi q_{n}\right) \right\vert  \\ &\leq &\left\vert y-2\pi \left( ap_{n}+q_{n}\right) \right\vert <\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$$
olur. Buradan
$$\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty }\sin \left( 2p_{n}x\right) =\alpha \end{equation*}$$
bulunur.
$$\begin{equation*} y\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \text{ ve }y<2\pi \left( p_{n}a+q_{n}\right) <y+\frac{1}{n} \end{equation*}$$
olduğundan
$$\begin{equation*} \cos 2\pi \left( p_{n}a+q_{n}\right) =\cos \left( 2p_{n}x\right) =\sqrt{% 1-\sin ^{2}\left( 2p_{n}x\right) } \end{equation*}$$
olur. Buradan da,
$$\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\cos \left( 2p_{n}x\right) }{\sin \left( 2p_{n}x\right) }=\frac{\sqrt{1-\alpha ^{2}}}{\alpha } \end{equation*}$$
elde edilir. Burada $\alpha \in \left[ -1,1\right]$ olduğundan $\frac{\sqrt{1-\alpha ^{2}} }{\alpha }$ ifadesi $\left( -\infty ,\infty \right)$ aralığını
tarar.

Answer 2

Bu sorunun cevabı evettir. Bu önermenin kanıtı aslında $\lim \sup \frac{\sin nx}{\sin \left( n+1\right) x}=\infty$ olduğunu kanıtlarken kullandığımız yöntemde bulunabilir.

$0\neq \alpha \in \mathbb{R\ }$ herhangi bir sayı olsun. $\beta = arccot \left( -\cot x+\frac{1}{\alpha \sin x}\right) \in \left( 0,\pi \right)$ koyalım. $0<\frac{\beta }{\pi }<1$ dir.  $\frac{x}{\pi }$ irrasyonel olduğundan  $D=\left\{ a+b\frac{x}{\pi }:a\in \mathbb{Z}\text{ , }b\in \mathbb{N}\right\}$ kümesi $\mathbb{R}$ de yoğundur. O halde
$$\lim_{n\rightarrow \infty }\left( a_{n}+b_{n}\frac{x}{\pi }\right) =\frac{ \beta }{\pi }\Longrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }\left( a_{n}\pi +b_{n}x\right) =\beta \text{ ve }0<a_{n}\pi +b_{n}x<\pi$$
olacak şekilde $\left( a_{n}\right) \subset \mathbb{Z}$, $\left( b_{n}\right) \subset \mathbb{N}$ alt dizileri vardır. $\cot$ fonksiyonu $\left( 0,\pi \right)$ de sürekli olduğundan $\lim_{n\rightarrow \infty }\cot \left( b_{n}x\right) =\lim_{n\rightarrow \infty }\cot \left( a_{n}\pi +b_{n}x\right) =\cot \beta$ olur.
Buradan

$$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin b_{n}x}{\sin \left( b_{n}+1\right) x} =\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{\sin x}\frac{1}{\cot x+\cot b_{n}x}= \frac{1}{\sin x}\frac{1}{\cot x+\cot \beta }=\alpha$$
elde edilir. O halde $\alpha \neq 0$ sorunun cevabı evettir. Fakat $0$ sayısı $\mathbb{R-}\left\{ 0\right\}$ kümesinin bir yığılma noktası olduğundan $\frac{\sin nx}{\sin \left( n+1\right) x}$ dizisinin limiti $0$ olan bir alt dizisi bulunabilir.

Not : Cevabı girdiğim sırada İlham Aliyev'in de bir cevap girdiğine dikkat etmemişim. Pardon. İki cevap bence tamamen ayni. Çünkü problemi çözen fikir $D=\left\{ a+b\frac{x}{\pi }:a\in \mathbb{Z}\text{ , }b\in \mathbb{N}\right\}$ kümesinin $\mathbb{R}$ de yoğun olasında yatıyor.