Periyodik ve sürekli bir $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ için $\left\{ {f\left( nx\right) }\right\}$ dizisi.

Question

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ periodik ve sürekli bir fonksiyon olsun. $f$ nin periyodunun $T>0$ olduğunu varsayalım. $x\in \mathbb{R}$ sayısı $T$ nin rasyonel bir katı olmasın, bir başka deyişle $\frac{x}{T}$ irrasyonel olsun. $x_{0}$ sayısı  $T$ nin rasyonel bir katı olan herhangi bir geçel sayı ise $\mathbb{N}$ de artan
bir $\left( k_{n}\right)$ dizisi için $\lim_{n\rightarrow \infty}f\left( k_{n}x\right) =f\left( x_{0}\right)$  olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$\frac{x}{T}$ irrasyonel olduğundan $D=\left\{ a+b\frac{x}{T} :a\in \mathbb{Z}\text{, }b\in \mathbb{N}\right\}$ kümesi $\mathbb{R}$
de yoğundur. O halde  $\lim_{n\rightarrow \infty }\left( a_{n}+b_{n} \frac{x}{T}\right) =\frac{x_{0}}{T}$ olacak şekilde $\left( a_{n}\right) \subset \mathbb{Z}$, $\left( b_{n}\right) \subset \mathbb{N}$ alt dizileri vardır. $\left\{ b_{n}:\ n\in \mathbb{N}\right\}$ sonlu olamaz. Aksi halde $\mathbb{N}$ nin sonsuz bir $\left( h_{n}\right)$ alt kümesi için $b_{h_{n}}=b$ sabit olur. Bu ise
$$\lim_{n\rightarrow \infty }\left( a_{h_{n}}+b\frac{x}{T}\right) =\frac{x_{0}% }{T}\Longrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }a_{h_{n}}=\frac{x_{0}}{T}-b% \frac{x}{T}$$
olmasını gerektirir. Fakat tamsayıların yakınsak bir dizisi belirli bir indisten sonra sabitttir. O halde yeteri kadarbüyük $n$ ler için $a_{h_{n}}=a$ sabit olur. Buradan, $r$ bir rasyonel sayı olmak üzere $x_{0}=rT$ ise,
$$a=\frac{x_{0}}{T}-b\frac{x}{T}\Longrightarrow \frac{x}{T}=\frac{x_{0}}{bT}- \frac{a}{b}\Longrightarrow x=T\left( \frac{r}{b}-\frac{a}{b}\right) \in T \mathbb{Q}$$
elde edilir. Bu ise $x$ sayısının $T$ nin rasyonel bir katı olmadığı varsayımımızla çelişir. O halde $\mathbb{N}$ de kesin artan bir $\left( k_{n}\right)$ dizisi ve bir $\left( s_{n}\right) \subset \mathbb{Z}$ için $\lim_{n\rightarrow \infty }\left( s_{n}+k_{n}\frac{x}{T }\right) =\frac{x_{0}}{T}$ dir.  Buradan $T$ ile çarparak $\lim_{n\rightarrow \infty }\left( s_{n}T+k_{n}x\right) =x_{0}$ ve $f$ sürekli olduğundan $\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( s_{n}T+k_{n}x\right) =f\left( x_{0}\right)$. $f$ nin periyodu $T$ olduğundan $\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( k_{n}x\right) =f\left( x_{0}\right)$ olduğu görülür.