Bağlantılı olup yol bağlantılı olmayan uzay örneğinin ispati

Question

ilgili cevabin dogrulugunu ispatlayiniz.

Answer 1

$$X=\{(0,y)|y\in [-1,1]\}$$ ve $$Y=\left\{\left(x,\sin\frac1x\right)\Big{|}x>0 \right\}$$

olmak üzere $$X\cup Y$$ kümesinin yol bağlantılı olmadığını gösterelim. Öncelikle yol tanımını hatırlayalım.

Tanım: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $a,b\in X$ olmak üzere $f(0)=a$ ve $f(1)=b$ koşullarını sağlayan sürekli her $f:[0,1]\to X$ fonksiyonuna $a$'dan $b$'ye bir yol denir. $a$'ya yolun başı, $b$'ye de yolun sonu denir. Başı ve sonu aynı olan yollara kapalı yol denir. Formel olarak

$$((X,\tau) \text{ topolojik uzay})(a,b\in X)$$

$$:\Rightarrow$$

$$f, \,\ a\text{'dan } b\text{'ye yol}:\Leftrightarrow (f:[0,1]\to X \,\ (\mathcal{U}_{[0,1]}\text{-}\tau) \text{ sürekli})(f(0)=a)(f(1)=b)$$

$$f, \,\ \text{kapalı yol} :\Leftrightarrow f, \,\ a\text{'dan } a\text{'ya yol}$$

şeklinde ifade edilir.

$X\cup Y$ kümesinin yol bağlantılı olduğunu varsayalım. O halde $$a=\left(\frac{1}{\pi},0\right)\in X\cup Y$$  ve $$b=(0,0)\in X\cup Y$$ olmak üzere

$$f(0)=\left(\frac{1}{\pi},0\right)$$ ve $$f(1)=(0,0)$$ olacak şekilde bir $$f:[0,1]\to X\cup Y$$ yolu vardır. $$c:=\inf\left\{t\in [0,1]\Big{|}f(t)\in X\right\}$$ için  $$\overline{f\left[[0,c]\right]}$$ kümesi, $X$ kümesinin tüm noktalarını içerirken  $$f\left[[0,c]\right]$$ kümesi, $X$ kümesinin en fazla bir noktasını içerir. Dolayısıyla $$f\left[[0,c]\right]$$ kümesi kapalı değildir. Kapalı olmadığına göre Heine-Borel teoremi uyarınca kompakt değildir. Oysa $[0,c]$ kompakt, $f$ sürekli ve kompakt kümelerin sürekli fonksiyonlar altındaki görüntüsü de kompakt olduğundan çelişki elde ederiz. Çelişki kabulümüzden kaynaklanmaktadır. O halde $$X\cup Y$$ kümesi yol bağlantılı değildir.

Comments

o halde?    

---

Biraz buradaki sorulara biraz da kızımın sorularına bakınca cevap peyder pey geliyor.