hocanın kaldığı yerden devam edelim
\lim_{x\to \infty}\frac{{\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}+\sqrt{x}}
\sqrt {x}=y olsun , x\rightarrow \infty \Rightarrow y\rightarrow \infty
\lim _{y\rightarrow \infty }\dfrac {\sqrt {y^{2}+y}}{\sqrt {y^{2}+\sqrt {y^{2}+y}}+y}
\lim _{y\rightarrow \infty }\dfrac {y\cdot \sqrt {1+\dfrac {1}{y}}}{y\sqrt {( 1+\dfrac {\sqrt {1+\dfrac {1}{y}}}{y}}+y}
\lim _{y\rightarrow \infty }\dfrac {y\sqrt {1+\dfrac {1}{y}}}{y\left( 1+\sqrt {1+\dfrac {\sqrt {1+\dfrac {1}{y}}}{y}}\right) }
=\dfrac {1}{2}