$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^3+x}-x\right)=?$

Question

Limit [ x--> sonsuz (  küpkökiçi'''xküp + x''' - x ) ] ?

Comments

Sorunuz     $\lim_{x\to\infty}\sqrt[3]{x^3+x}-x$  böyle mi?  

---

Evet aynen oyle

Answer 1

$\lim_{x\to\infty}(\sqrt[3]{x^3+x}-x)\frac{(\sqrt[3]{(x^3+x)^2}.+\sqrt[3]{x^3+x}.x+x^2)}{\sqrt[3]{(x^3+x)^2}.+\sqrt[3]{x^3+x}.x+x^2)}$=$\lim_{x\to\infty}\frac{x^3+x-x^3}{\sqrt[3]{(x^3+x)^2}+\sqrt[3]{x^3+x}.x+x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt[3]{x^6+2x^4+x^2}+\sqrt[3]{x^3+x}.x+x^2}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2\sqrt[3]{1+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4}}+x^2\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^2}}+x^2}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2[\sqrt[3]{1+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4}}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^2}}+1]}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x[\sqrt[3]{1+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4}}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^2}}+1]}=0$  olur.

Comments

Soruya cevap olarak yazmıştım ama yazdıklarımın hepsi yanlış.En kısa zamanda düzelteceğim

Answer 2

$\sqrt [3] {x^{3}+x}-x=x\sqrt [3] {x+\dfrac {1}{x^{2}}}-x=x\left( \sqrt [3] {1+\dfrac {1}{x^{2}}}-1\right)$

$\lim _{x\rightarrow \infty }x\left( \sqrt [3] {1+\dfrac {1}{x^{2}}}-1\right)$ , $\rightarrow 0.\infty$ belirsizliği var $x$'i paydaya atıp L'Hospital uyguluyorum

$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\sqrt [3] {1+\dfrac {1}{x^{2}}}-1}{\dfrac {1}{x}}$ $=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1}{3}\left( 1+\dfrac {1}{x^{2}}\right) ^{-\dfrac {2}{3}}.-2\cdot \dfrac {1}{x^{3}}.-{x^{2}} =\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2}{3x\left( 1+\dfrac {1}{x^2}\right)^{2/3}}$

$=0$