Question

$$\int_0^\pi\int_0^\pi\int_0^\pi\:\frac{du\,dv\,dw}{1-\cos{u}\cos{v}\cos{w}}$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\int_0^\pi\int_0^\pi\int_0^\pi\:\frac{du\,dv\,dw}{1-\cos{u}\cos{v}\cos{w}}$$

Aşağıdaki gibi değişken değiştirelim.

$$x=\tan\Big(\frac{u}{2}\Big)$$

$$x=\tan\Big(\frac{v}{2}\Big)$$

$$x=\tan\Big(\frac{w}{2}\Big)$$

Yeni integralimiz :

$$4\int_0^\infty\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{dx\:dy\:dz}{x^2+y^2+z^2+x^2y^2z^2}$$

Kartezyan koordinat sisteminden küresel koordinat sistemine geçelim.Yeni değişkenlerimiz :

$$x=r\sin\theta\cos\phi$$

$$y=r\sin\theta\sin\phi$$

$$z=r\cos\theta$$

Yeni integralimiz :

$$4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^\infty\:\frac{|J|\:dr\:d\theta\:d\phi}{1+r^4\sin^4\theta\cos^2\theta\sin^2\phi\cos^2\phi}$$

Burada $|J|$ jakobyen matrisinin determinantıdır.Bu özel durum için $\sin\theta$ ' ya eşittir.

$$4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^\infty\:\frac{\sin\theta\:dr\:d\theta\:d\phi}{1+r^4\sin^4\theta\cos^2\theta\sin^2\phi\cos^2\phi}$$

$2\phi=\Psi$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$$4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^\infty\:\frac{\sin\theta\:dr\:d\theta\:d\Psi}{1+\frac{1}{4}r^4\sin^4\theta\cos^2\theta\sin^2\Psi}$$

İntegrali $3$ ayrı integral şeklinde yazabiliriz.

$t=r\sin\theta\:\sqrt{\frac{1}{2}\cos\theta\sin\Psi}$ olmak üzere ;

$$4\sqrt{2}\:\int_0^\infty\frac{dt}{1+t^4}\:\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta}}\:\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\Psi}{\sqrt{\sin\Psi}}$$

$2.$ ve $3.$ integral birbirine eşittir.

$$4\sqrt{2}\:\int_0^\infty\frac{dt}{1+t^4}\:\Bigg[\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\Psi}{\sqrt{\sin\Psi}}\Bigg]^2$$

$$4\sqrt{2}\:\int_0^\infty\frac{dt}{1+t^4}\:\Bigg[\frac{1}{2}\int_0^\pi\sqrt{\csc\Psi}\:d\Psi\Bigg]^2$$

$1.$ integral için buradaki , $2.$ integral için de buradaki eşitliği kullanalım.

$$4\sqrt{2}\:\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\Bigg[\frac{\Gamma^2\big(\frac{1}{4}\big)}{2\sqrt{2\pi}}\Bigg]^2$$

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^\pi\int_0^\pi\int_0^\pi\:\frac{du\,dv\,dw}{1-\cos{u}\cos{v}\cos{w}}=\frac{\Gamma^4\Big(\frac{1}{4}\Big)}{4}=2\pi{L^2}\approx1.39320393}}$$

$L\to$ Lemniscate sabiti