$\iiint\limits_{\mathbb{G}}\:\frac{e^{-x^2-y^2-z^2}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\:d\mathbb{G}$ integralini çözün

Question

$$\large\iiint\limits_{\mathbb{G}}\:\frac{e^{-x^2-y^2-z^2}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\:d\mathbb{G}\\\mathbb{G}:x^2+y^2+z^2\le1$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegrant ve bölge küresel simetriye sâhip olduğundan, integrali küresel koordinatlara çevirebiliriz, hatta pratik açıdan çevirmek gerekir! Bunu yapmanın standart yolu bellidir: $0\leq r\leq 1, 0\leq \theta \leq \pi, 0\leq \varphi\leq 2\pi$ olmak üzere,  $$\begin{align} x=&r\sin \theta \cos \varphi \\ y=&r\sin \theta \sin \varphi& \\ z= &r\cos \theta \end{align}$$  dönüşümü yapılır. Bu dönüşümün Jakobyen determinantı $|J|=4\pi r^2$'dir. Bunlar yukarıdaki ifâdede yerine konursa, $$\int_0^1 \frac{e^{-r^2}}{r}4\pi r^2dr$$   elde edilir. İfâde düzenlenir ve $r^2=x$ değişken dönüşümü yapılırsa, $$2\pi \int_0^1 e^{-x}dx=2\pi\left(1-\frac{1}{e}\right)$$ bulunur.

Fiziksel olarak bu integral, burada yazılmayan fiziksel sâbitleri gözardı edersek, $\exp -r^2$ şeklinde orijine yerleşmiş Gaussyan yük (veyâ kütle) dağılımına sâhip bir sistemin orijinindeki elektriksel (veyâ kütleçekimsel/gravitasyonel) potansiyelini verir.

Comments

$r$ garbim $0$ ile $0$ arasında kalmış.

---

kopi-peyst ile bu kadar oluyor :D