$x+y+z=8$ olmak üzere; $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+4}+\sqrt{z^2+9}$ ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

Question

$x+y+z=8$  x,y,z > 0 olmak üzare;

 $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+4}+\sqrt{z^2+9}$   ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

Comments

http://matkafasi.com/3044/%24a-b-c-8-text-ise-sqrt-a-2-9-sqrt-b-2-4-sqrt-c-2-1-%24 

Aynı soru. 

---

o soruyu görmemiştim ama o soru hatalı yazılmış. kök içinde toplama işlemi olmalı.

Answer 1

$\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}...\sqrt{a_n^2+b_n^2}\geq \sqrt{(a_1+a_2...a_n)^2+(b_1+b_2...b_n)^2}$ eşitsizliğini kullanarak (C-S-B ve tümevarım kullanılarak ispatlayabilirsiniz)

$\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+(1+2+3)^2}=10$ bulunur.

Comments

cevap doğrudur hocam. 

cebirsel çözümünü ilk defa gördüm bu da geometrik çözümü kadar güzelmiş.

---

Ben yanlış görüyorum soruyu. Aşağıdaki hesaplarım hepsi hatalı.

$x=y=0,\ z=8$ alındığında daha küçük değer  ($\sqrt{73}$) çıkıyor.

$x=z=0,\ y=8$  alındığında daha küçük değer  ($\sqrt{68}$) çıkıyor.

$x=8,\ y=z=0$ alındığında   daha  da küçük bir değer ($\sqrt{65}$) çıkıyor.

---

0, 0, 8 verdiğimizde $\sqrt{73}$ gelmiyor hocam. değerlere 0 verdiğinizde kök içi 0 olmuyor.

---

haklısınız. Benim dikkatsizliğim.

Answer 2

Bir dik üçgenin dik kenarlarından birinin uzunluğu $x+y+z=8$, diğer dik kenarının uzunluğu $1+2+3=6$ olduğuna göre hipotenüs $10$ cm olur. 

Comments

En güzel çözüm

Answer 3

Lagrange Çarpanı ile

$$f(x,y,z,\lambda)=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+4}+\sqrt{z^2+9}+\lambda(x+y+z-8)$$ fonksiyonunun farklı değişkenlere göre türevleri: $$f_x'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\lambda,\quad f_y'=\dfrac{y}{\sqrt{y^2+4}}+\lambda,\quad f_z'=\dfrac{z}{\sqrt{z^2+9}}+\lambda,\quad f_\lambda'=0$$ hepsinin türevleri $\lambda$'nın türevi olan $0$ da eşitlenirse $$-\lambda=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{y}{\sqrt{y^2+4}}=\dfrac{z}{\sqrt{z^2+9}}$$ bulunur buradan sağ taraftakileri ikişer ikişer eşleştirerek $$x=k,\quad y=2k, \quad z=3k$$ bulunur ve $6k=8$ den $k=\dfrac{3}{4}$ bulunur. $$x=\dfrac{3}{4},\quad y=\dfrac32,\quad z=\dfrac94$$ için bu ifade minimum değerini alır.