Her normlu uzayın bir metrik uzay olduğunu gösteriniz.

Question

Her normlu uzayın metrik uzay olduğunu gösteriniz.

İpucu: Norm yardımıyla, bir metrik tanımlayınız.

Answer 1

$(X,n)$ normlu uzay olmak üzere

$$d(x,y):=n(x\oplus (-y))$$

kuralı ile verilen

$$d:X^2\rightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonunun metrik olma koşullarını sağladığını göstermek zor olmasa gerek. Dolayısıyla $$d$$ fonksiyonu $X$ kümesi üzerinde bir metrik; $$(X,d)$$ ikilisi de bir metrik uzaydır. Bu metriğe normdan elde edilen metrik denir.