$\int\limits_{W}\:xyz\:ds$ integralini çözün

Question

$$\int\limits_{W}\:xyz\:ds\\W:\:\:\vec{r}(t)=\langle\cos(t),\sin(t),3t\rangle\:\:,\:\:4\pi\ge{t}\ge0$$

İntegralini çözün.

Answer 1

Parametrik durumda yay uzunluğu, $$ds=dt\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}=dt\sqrt{1+9}=\sqrt{10} dt$$ şeklinde elde edilir. Bunlar ve diğer bilgiler integrale yerleştirilirse küçük bir kısmî integrasyondan sonra, $$3\sqrt{10}\int_0^{4\pi} t\cos t\sin t dt=-3\sqrt{10}\pi$$ bulunur. 

Kısmî integrasyon için $t=u$ ve $\sin t \cos t dt=dV$ seçimleri yapılır. Gerisi açıktır.