Topoloji - Süreklilik -

Question

$\left( X,\tau_{1} \right)$  $\left( Y,\tau_{2} \right)$ $\left( Z,\tau_{3} \right)$ topolojik uzay olmak üzere;

$f:X\rightarrow Y$ , $g:Y\rightarrow Z$  fonksiyon olsun.

$g\circ f$ açık(kapalı) , g sürekli ve birebir olsun. f'nin açık(kapalı) olup olmadığını inceleyiniz.

Answer 1

$A\in \tau_1$ olsun. Acaba her zaman $f[A]\in \tau_2$ oluyor mu olmuyor mu? Ona bakacağız.

$g\circ f$ fonksiyonu $(\tau_1-\tau_3)$ açık ise

$$(g\circ f)[A]\in\tau_3$$ yani $$g[f[A]]\in\tau_3$$ olur. $g$, $(\tau_2-\tau_3)$ sürekli olduğundan $$g^{-1}[g[f[A]]]\in\tau_2$$ elde edilir. $g$ fonksiyonu birebir olduğu için sol tersi vardır (Soyut Matematik-I). O halde $$g^{-1}[g[f[A]]]=f[A]\in\tau_2$$ olur. Dolayısıyla $f$ fonksiyonu açıktır.

$$\text{SOYUT MATEMATİKTEN KURTULUŞ YOK}$$

Comments

Ellerinize sağlık hocam, teşekkür ederim. Evet soyut matematikten kurtuluş yok. :)