Processing math: 0%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi

\large\iiint\limits_{\mathbb{V}}\:x^{\alpha-1}y^{\beta-1}z^{\gamma-1}\:d\mathbb{V}

\large\mathbb{V}:x^2+y^2+z^2\le1   ve   x,y,x\geq0

İntegralini çözün.

Lisans Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.3k kez görüntülendi

Bu bir küre. Ona göre davranmak gerek.

cift integralin polar kordinant yontemi kolay geldiginden (,bana): \int\limits_{-1}^1\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}f(x,y,z)dz dy dx seklinde yazip, ilk integrali aldiktan sonra polar  koordinant kullanilabilir. 

Sercan hocam , işlemleri devam ettirebilir misiniz ?

Ettirilebilir ama yazmak istemedim. Ondan yorum olarak yazdim. Bu arada sonuncusu z^{\gamma-1} olacak galiba..

Evet hocam z^{\gamma-1} olacak , düzelttim.

Ben işlemleri yaptım ama bir sonuca ulaşamadım.Belki bir yerde hata yapıyorumdur.

Soru başlığındaki x i de z ye çevirdim. İntegral küre üzerinde ise iki katlı olmalı.

Soruyu düzenledim.Eski hali ile cevap 0.

özel bir adı vardı da, x,y,z\geq 0 da diyebilirsin.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

İntegral :

\iiint\limits_{\mathbb{V}}\:x^{\alpha-1}y^{\beta-1}z^{\gamma-1}\:d\mathbb{V}

\mathbb{V}:x^2+y^2+z^2\le1\:\:\:,\:\:\:x,y,z\geq0

Yeni değişkenlerimiz :

u=x^2

v=y^2

w=z^2

İntegralin yeni hali :

\iiint\limits_{\mathbb{S}}\:u^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}}v^{\frac{\beta}{2}-\frac{1}{2}}w^{\frac{\gamma}{2}-\frac{1}{2}}\:\det\:J(u,v,w)\:d\mathbb{S}

\mathbb{S}:u+v+w\le1\:\:\:,\:\:\:u,v,w\geq0

Jacobian matrisinin determinantını bulalım.

J(u,v,w)=\begin{bmatrix}\frac{\partial\:u}{\partial\:x}&\frac{\partial\:u}{\partial\:y}&\frac{\partial\:u}{\partial\:z}\\\frac{\partial\:v}{\partial\:x}&\frac{\partial\:v}{\partial\:y}&\frac{\partial\:v}{\partial\:z}\\\frac{\partial\:w}{\partial\:x}&\frac{\partial\:w}{\partial\:y}&\frac{\partial\:w}{\partial\:z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2\sqrt{u}}&0&0\\0&\frac{1}{2\sqrt{v}}&0\\0&0&\frac{1}{2\sqrt{w}}\end{bmatrix}

\det\:J(u,v,w)=\frac{1}{8\,\sqrt{u\:v\:w}}

İntegralde yerine yazalım :

\large\color{#A00000}{\frac{1}{8}\iiint\limits_{\mathbb{S}}\:u^{\frac{\alpha}{2}-1}\:v^{\frac{\beta}{2}-1}\:w^{\frac{\gamma}{2}-1}\:\:d\mathbb{S}\\\mathbb{S}:u+v+w\le1\:\:\:,\:\:\:u,v,w\geq0}

Sınır değerlerini yazalım.

\frac{1}{8}\int_0^1\int_0^{1-w}\int_0^{1-v-w}\:u^{\frac{\alpha}{2}-1}\:v^{\frac{\beta}{2}-1}\:w^{\frac{\gamma}{2}-1}\:du\:dv\:dw

İlk integrali çözelim.

\frac{1}{8}\int_0^1\int_0^{1-w}\underbrace{\bigg(\int_0^{1-v-w}\:u^{\frac{\alpha}{2}-1}\:du\bigg)}_{\large\big[\frac{2}{\alpha}u^{\frac{\alpha}{2}}\big]_0^{1-v-w}\to\:\frac{2}{\alpha}(1-v-w)^{\frac{\alpha}{2}}}\:v^{\frac{\beta}{2}-1}\:w^{\frac{\gamma}{2}-1}\:dv\:dw

\frac{1}{8}\frac{2}{\alpha}\int_0^1\int_0^{1-w}\:(1-v-w)^{\frac{\alpha}{2}}\:v^{\frac{\beta}{2}-1}\:w^{\frac{\gamma}{2}-1}\:dv\:dw

w=(1-v)k olacak şekilde değişken değiştirelim.

\frac{1}{8}\frac{2}{\alpha}\int_0^1\int_0^1\:u^{\frac{\beta}{2}-1}\:(1-u)^{\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}}\:k^{\frac{\gamma}{2}-1}\:(1-k)^{\frac{\alpha}{2}}\:du\:dk

İntegrali iki ayrı integral halinde yazalım.

\frac{1}{8}\frac{2}{\alpha}\int_0^1u^{\frac{\beta}{2}-1}\:(1-u)^{\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}}\:du\:\int_0^1\:k^{\frac{\gamma}{2}-1}\:(1-k)^{\frac{\alpha}{2}}\:dk

İntegralleri beta fonksiyonu ile yazabiliriz.

\frac{1}{8}\frac{2}{\alpha}\underbrace{\int_0^1u^{\frac{\beta}{2}-1}\:(1-u)^{\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}}\:du}_{\large\:B\big(\frac{\beta}{2},\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}+1\big)}\:\underbrace{\int_0^1\:k^{\frac{\gamma}{2}-1}\:(1-k)^{\frac{\alpha}{2}}\:dk}_{\large\:B\big(\frac{\gamma}{2},\frac{\alpha}{2}+1\big)}

\frac{1}{8}\frac{2}{\alpha}B\bigg(\frac{\beta}{2},\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}+1\bigg)B\bigg(\frac{\gamma}{2},\frac{\alpha}{2}+1\bigg)

Beta fonksiyonlarını gama fonksiyonu ile yazabiliriz.

\frac{1}{8}\frac{2}{\alpha}\frac{\Gamma\bigg(\frac{\beta}{2}\bigg)\Gamma\bigg(\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}+1\bigg)}{\Gamma\bigg(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}+1\bigg)}\frac{\Gamma\bigg(\frac{\gamma}{2}\bigg)\Gamma\bigg(\frac{\alpha}{2}+1\bigg)}{\Gamma\bigg(\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}+1\bigg)}

Sadeleştirelim.

\large\color{#C00000}{\boxed{\iiint\limits_{\mathbb{V}}\:x^{\alpha-1}y^{\beta-1}z^{\gamma-1}\:d\mathbb{V}=\frac{\Gamma\bigg(\frac{\alpha}{2}\bigg)\Gamma\bigg(\frac{\beta}{2}\bigg)\Gamma\bigg(\frac{\gamma}{2}\bigg)}{8\:\Gamma\bigg(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}+1\bigg)}\\\mathbb{V}:x^2+y^2+z^2\le1\:\:\:,\:\:\:x,y,z\geq0}}

(1.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

V: x^2+y^2+z^2\leq1,\ x,y,z\geq0  bölgesi üzerinde integrali hesapladınız (Bence de soru bu olmalıydı)

Tekrar düzenledim soruyu.Başka bir hata kalmadı sanırım ? :)

20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,053,075 kullanıcı