$\iiint\limits_{\mathbb{V}}\:x^{\alpha-1}y^{\beta-1}z^{\gamma-1}\:d\mathbb{V}$ integralini çözün

Question

$$\large\iiint\limits_{\mathbb{V}}\:x^{\alpha-1}y^{\beta-1}z^{\gamma-1}\:d\mathbb{V}$$

$\large\mathbb{V}:x^2+y^2+z^2\le1$   ve   $x,y,x\geq0$

İntegralini çözün.

Comments

Bu bir küre. Ona göre davranmak gerek.

---

cift integralin polar kordinant yontemi kolay geldiginden (,bana): $\int\limits_{-1}^1\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}f(x,y,z)dz dy dx$ seklinde yazip, ilk integrali aldiktan sonra polar  koordinant kullanilabilir. 

---

Sercan hocam , işlemleri devam ettirebilir misiniz ?

---

Ettirilebilir ama yazmak istemedim. Ondan yorum olarak yazdim. Bu arada sonuncusu $z^{\gamma-1}$ olacak galiba..

---

Evet hocam $z^{\gamma-1}$ olacak , düzelttim.

Ben işlemleri yaptım ama bir sonuca ulaşamadım.Belki bir yerde hata yapıyorumdur.

---

Soru başlığındaki $x$ i de $z$ ye çevirdim. İntegral küre üzerinde ise iki katlı olmalı.

---

Soruyu düzenledim.Eski hali ile cevap $0$.

---

özel bir adı vardı da, $x,y,z\geq 0$ da diyebilirsin.

Answer 1

İntegral :

$$\iiint\limits_{\mathbb{V}}\:x^{\alpha-1}y^{\beta-1}z^{\gamma-1}\:d\mathbb{V}$$

$$\mathbb{V}:x^2+y^2+z^2\le1\:\:\:,\:\:\:x,y,z\geq0$$

Yeni değişkenlerimiz :

$$u=x^2$$

$$v=y^2$$

$$w=z^2$$

İntegralin yeni hali :

$$\iiint\limits_{\mathbb{S}}\:u^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}}v^{\frac{\beta}{2}-\frac{1}{2}}w^{\frac{\gamma}{2}-\frac{1}{2}}\:\det\:J(u,v,w)\:d\mathbb{S}$$

$$\mathbb{S}:u+v+w\le1\:\:\:,\:\:\:u,v,w\geq0$$

Jacobian matrisinin determinantını bulalım.

$$J(u,v,w)=\begin{bmatrix}\frac{\partial\:u}{\partial\:x}&\frac{\partial\:u}{\partial\:y}&\frac{\partial\:u}{\partial\:z}\\\frac{\partial\:v}{\partial\:x}&\frac{\partial\:v}{\partial\:y}&\frac{\partial\:v}{\partial\:z}\\\frac{\partial\:w}{\partial\:x}&\frac{\partial\:w}{\partial\:y}&\frac{\partial\:w}{\partial\:z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2\sqrt{u}}&0&0\\0&\frac{1}{2\sqrt{v}}&0\\0&0&\frac{1}{2\sqrt{w}}\end{bmatrix}$$

$$\det\:J(u,v,w)=\frac{1}{8\,\sqrt{u\:v\:w}}$$

İntegralde yerine yazalım :

$$\large\color{#A00000}{\frac{1}{8}\iiint\limits_{\mathbb{S}}\:u^{\frac{\alpha}{2}-1}\:v^{\frac{\beta}{2}-1}\:w^{\frac{\gamma}{2}-1}\:\:d\mathbb{S}\\\mathbb{S}:u+v+w\le1\:\:\:,\:\:\:u,v,w\geq0}$$

Sınır değerlerini yazalım.

$$\frac{1}{8}\int_0^1\int_0^{1-w}\int_0^{1-v-w}\:u^{\frac{\alpha}{2}-1}\:v^{\frac{\beta}{2}-1}\:w^{\frac{\gamma}{2}-1}\:du\:dv\:dw$$

İlk integrali çözelim.

$$\frac{1}{8}\int_0^1\int_0^{1-w}\underbrace{\bigg(\int_0^{1-v-w}\:u^{\frac{\alpha}{2}-1}\:du\bigg)}_{\large\big[\frac{2}{\alpha}u^{\frac{\alpha}{2}}\big]_0^{1-v-w}\to\:\frac{2}{\alpha}(1-v-w)^{\frac{\alpha}{2}}}\:v^{\frac{\beta}{2}-1}\:w^{\frac{\gamma}{2}-1}\:dv\:dw$$

$$\frac{1}{8}\frac{2}{\alpha}\int_0^1\int_0^{1-w}\:(1-v-w)^{\frac{\alpha}{2}}\:v^{\frac{\beta}{2}-1}\:w^{\frac{\gamma}{2}-1}\:dv\:dw$$

$w=(1-v)k$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$$\frac{1}{8}\frac{2}{\alpha}\int_0^1\int_0^1\:u^{\frac{\beta}{2}-1}\:(1-u)^{\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}}\:k^{\frac{\gamma}{2}-1}\:(1-k)^{\frac{\alpha}{2}}\:du\:dk$$

İntegrali iki ayrı integral halinde yazalım.

$$\frac{1}{8}\frac{2}{\alpha}\int_0^1u^{\frac{\beta}{2}-1}\:(1-u)^{\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}}\:du\:\int_0^1\:k^{\frac{\gamma}{2}-1}\:(1-k)^{\frac{\alpha}{2}}\:dk$$

İntegralleri beta fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$\frac{1}{8}\frac{2}{\alpha}\underbrace{\int_0^1u^{\frac{\beta}{2}-1}\:(1-u)^{\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}}\:du}_{\large\:B\big(\frac{\beta}{2},\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}+1\big)}\:\underbrace{\int_0^1\:k^{\frac{\gamma}{2}-1}\:(1-k)^{\frac{\alpha}{2}}\:dk}_{\large\:B\big(\frac{\gamma}{2},\frac{\alpha}{2}+1\big)}$$

$$\frac{1}{8}\frac{2}{\alpha}B\bigg(\frac{\beta}{2},\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}+1\bigg)B\bigg(\frac{\gamma}{2},\frac{\alpha}{2}+1\bigg)$$

Beta fonksiyonlarını gama fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$\frac{1}{8}\frac{2}{\alpha}\frac{\Gamma\bigg(\frac{\beta}{2}\bigg)\Gamma\bigg(\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}+1\bigg)}{\Gamma\bigg(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}+1\bigg)}\frac{\Gamma\bigg(\frac{\gamma}{2}\bigg)\Gamma\bigg(\frac{\alpha}{2}+1\bigg)}{\Gamma\bigg(\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}+1\bigg)}$$

Sadeleştirelim.

$$\large\color{#C00000}{\boxed{\iiint\limits_{\mathbb{V}}\:x^{\alpha-1}y^{\beta-1}z^{\gamma-1}\:d\mathbb{V}=\frac{\Gamma\bigg(\frac{\alpha}{2}\bigg)\Gamma\bigg(\frac{\beta}{2}\bigg)\Gamma\bigg(\frac{\gamma}{2}\bigg)}{8\:\Gamma\bigg(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}+1\bigg)}\\\mathbb{V}:x^2+y^2+z^2\le1\:\:\:,\:\:\:x,y,z\geq0}}$$

Comments

$V: x^2+y^2+z^2\leq1,\ x,y,z\geq0$  bölgesi üzerinde integrali hesapladınız (Bence de soru bu olmalıydı)

---

Tekrar düzenledim soruyu.Başka bir hata kalmadı sanırım ? :)