Verilen dizinin Cauchy dizisi olduğunu gösterebiliyorum ancak yakınsamadığını gösteremiyorum. Yardımcı olabilir misiniz?

Question

P polinomlar vektör uzayı ve $P(x)=\sum\limits_{k=0}^na_kx^k$ olmak üzere $||P||_{\infty}= \max\limits_{k \in[0,1]}|a_k|$ normu verilsin. $P_n=\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$ ile tanımlanan $(p_n)_n$ dizisinin $||.||$ ile bir Cauchy dizisi olduğunu ancak yakınsamadığını gösteriniz.

Comments

Bir polinoma yakınsadığını varsayıp bir çelişki bulmayı deneyebilir misin?

---

Hocam merhaba, onu denedim yani $\sum\limits_{k=0}^{n}a_kx^k$ şeklinde bir polinoma yakınsadığını kabul ettim ancak $a_k \in \mathbb{R}$ olması dışında hiçbir şey bilmediğim için max hesaplarken bir yorum yapamadım.

---

($n$ inci dereceden) Bir $P$ polinomuna yakınsasın. $N>n$ olmak üzere $\left||P_N-P|\right|_{\infty}$ için ne söyleyebilirsin?

---

$P(x)=\sum\limits_{k=0}^n$ ve $N>n$ için $\left\|P_N-P\right\|_{\infty}$ normunu hesaplayalım.

$\left\|\sum\limits_{k=0}^N \frac{x^k}{k!}-\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k\right\|_{\infty}$

$=\left\|1+x+\frac{x^2}{2!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+\ldots+\frac{x^N}{N!}-a_0-a_1 x-a_2 x^2-\ldots-a_n x^n\right\|_{\infty}$

$=\left\|(1-a_0)+(1-a_1)x+(\frac{1}{2!}-a_2)x^2+\ldots +(\frac{1}{n!}-a_n)x^n+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+\ldots+\frac{x^N}{N!}\right\|_{\infty}$

$=\max\left\{\left|1-a_0\right|,\left|1-a_1\right|,\left|\frac{1}{2!}-a_2\right|,\ldots,\left|\frac{1}{n!}-a_n\right|,\left|\frac{1}{(n+1)!}\right|, \ldots,\left|\frac{1}{N!}\right|\right\}$

olur. Buradan sonra karşımıza iki durum çıkıyor. Birincisi bu kümenin maksimumu $$\frac{1}{(n+1)!}$$ sayısıdır veya  

$$\max\left\{\left|1-a_0\right|,\left|1-a_1\right|,\left|\frac{1}{2!}-a_2\right|,\ldots,\left|\frac{1}{n!}-a_n\right|\right\}=L$$ sayısıdır.

BirinciDurum: $\epsilon=\frac{1}{(n+2)!}$ için $\left\|P_n-P\right\|_{\infty}>\epsilon$ olur ki bu da limitin $P$ polinomu olması ile çelişir.

İkinci Durum: Maksimum $L$ olursa $\epsilon=\frac{L}{2}$ için $\left\|P_n-P\right\|_{\infty}>\epsilon$ olur ki bu da limitin $P$ polinomu olması ile çelişir.

Böyle düşündüm hocam. Bir eksiklik var mı?