Gerçel katsayılı polinomlar uzayında aşağıdaki dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Question

$\mathcal{P}=\left\{P:(\forall k\in\mathbb{N})(a_k\in\mathbb{R})\left(P(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k\right)\right\}$ polinomlar kümesi üzerinde tanımlı $$||P||_{\infty}=\max_{1\leq k\leq n} |a_k|$$ normuna göre genel terimi $$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$$ olan $(P_n)_n$ dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(P_n)_n$ dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek için  $$(\forall \varepsilon > 0)(\exists k \in \mathbb{N})(n,m \geq k \Longrightarrow \left\|P_n-P_m\right\|_{\infty}< \varepsilon) \ldots (*)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz. Her $\varepsilon>0$ için (eğer varsa) bulmamız gereken $k\in\mathbb{N}$ sayısının nasıl seçilmesi gerektiğini anlamak için $$\left\|P_n-P_m\right\|_{\infty}$$ ifadesine bakalım.
$$\begin{array}{rcl} \left\|P_n-P_m\right\|_{\infty} & = & \left\|\sum\limits_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}-\sum\limits_{k=0}^m \frac{x^k}{k!}\right\|_{\infty} \\ \\ & = &  \left\|\sum\limits_{k=m+1}^n \frac{x^k}{k!}\right\|_{\infty} \\ \\ & = & \max\limits_{m+1\leq k\leq n}\left|\frac{1}{k!}\right| \\ \\ & = & \frac{1}{(m+1)! } \leq\frac{1}{m+1}<\varepsilon\Leftrightarrow m>\frac{1}{\varepsilon}-1\end{array}$$
olduğundan her $0<\varepsilon\leq1$ için $k:=\lfloor \frac{1}{\varepsilon}-1\rfloor+1=\lfloor \frac{1}{\varepsilon}\rfloor\in \mathbb{N} $ seçilirse
$$n,m\geq k\Longrightarrow \left\|P_n-P_m\right\|_{\infty}=\ldots\leq \frac{1}{m+1}\leq \frac{1}{k+1}=\frac{1}{\lfloor \frac{1}{\varepsilon}\rfloor+1}<\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}}=\varepsilon$$
koşulu sağlanır. Diğer taraftan $\varepsilon>1$ için $k \in \mathbb{N}$ sayısı ne seçilirse seçilsin $(*)$ koşulunun sağlandığını görmek zor olmasa gerek. Dolayısıyla $(*)$ koşulu her epsilon için doğrudur. O halde $(P_n)_n$ dizisi bir Cauchy dizisidir.