Her yakınsak dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Question

Belki sitede vardır ama ben göremedim.

Answer 1

$(x_n)_n$ yakınsak bir dizi ve $\epsilon > 0$ olsun. Bu durumda öyle $x \in \mathbb{R}$ sayısı vardır ki $x_n \to x$ olur.

Buradan $\exists N \in \mathbb{N} \ni n\geq \mathbb{N} \implies \mid x_n - x \mid < \frac{\epsilon}{2}$ elde edilir.

Böylece $m,n \geq N \implies \mid x_n - x_m \mid \leq \mid x_n - x \mid + \mid x - x_m \mid < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}=\epsilon$

Bu takdirde $x_n$ Cauchy Dizisi demektir.

Answer 2

$(x_n)_n$ dizisi yakınsak bir dizi olsun. Amacımız $$(\forall \epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(m,n \geq K \implies |x_n - x_m|<\epsilon)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermek.

$\epsilon > 0$ verilmiş olsun. $(x_n)_n$ dizisi yakınsak olduğundan öyle $x \in \mathbb{R}$ sayısı vardır ki $x_n \to x$ olur. $x_n \to x$ ise $$n\geq K \implies |x_n - x | < \frac{\epsilon}{2}$$ koşulu sağlanacak şekilde en az bir $K\in\mathbb{N}$ vardır.

Buradan da $$m,n \geq K \implies |x_n - x_m|\leq | x_n - x| + |x - x_m |< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ elde edilir. Verilmiş bir $\epsilon>0$ için $$m,n \geq K \implies |x_n - x_m|<\epsilon$$ koşulu sağlanacak şekilde en az bir $K\in\mathbb{N}$ sayısının var olduğunu yani $$(\forall \epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(m,n \geq K \implies |x_n - x_m|<\epsilon)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermiş olduk. Bu ise $(x_n)_n$ dizisinin bir Cauchy dizisi olduğu anlamına gelir.