Yakınsak dizilerin sınırlı olduğunu gösteriniz.

Question

Belki sitede vardır ama ben göremedim.

Answer 1

$(x_n)_n$ dizisi yakınsak ve  $x_n\to x$ olsun.

Bu takdirde $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbf{N} \ni n\geq N \implies \mid x_n - x \mid < \epsilon$ olur.

$n\geq N$ için $\mid x_n \mid =\mid x_n -x +x \mid \leq \mid x_n -x \mid + \mid x \mid <\epsilon + \mid x \mid$

Böylece $\{x_N, x_{N+1},x_{N+2}, ... \}$ kümesi  $\epsilon + \mid x   \mid$ ile sınırlıdır.

$M:=\text{max} \{\mid x_1 \mid ,\,\mid x_2 \mid ,\,\mid x_3 \mid, \ldots, \mid x_{N-1}\mid,\, \epsilon + \mid x \mid \}$

Buradan her  $n \in \mathbb{N}$ için $\mid x_n \mid \leq M$ elde edilir.

Bu durumda $(x_n)$ dizisi sınırlıdır.

(Burada $\epsilon = 1$ olarak alınabilir.)

Answer 2

$(x_n)_n$ dizisi yakınsak olsun. $(x_n)_n$ dizisi yakınsak ise $x_n\to x$ olacak şekilde en az bir $x\in\mathbb{R}$ sayısı vardır.
$$x_n\to x$$ olduğuna göre $$(\forall \epsilon > 0)(\exists K \in \mathbb{N})(n\geq K \implies |x_n - x| < \epsilon)$$ önermesi doğrudur. Öte yandan
$$| x_n |=|x_n -x +x |\leq |x_n -x |+|x |$$ olduğundan verilmiş bir $\epsilon >0$ için $$n\geq K\implies | x_n |=|x_n -x +x |\leq |x_n -x |+|x |<\epsilon+|x|$$ olur. Bu ise $\epsilon +|x|$ sayısının $$\{x_K, x_{K+1},x_{K+2},\ldots \}$$ kümesi için hem bir alt sınır hem de bir üst sınır olduğu anlamına gelir. Yani söz konusu küme hem alttan hem de üstten sınırlı yani kısaca sınırlıdır. Şimdi $M$ gerçel sayısı
$$M:=\max \{| x_1 | ,| x_2 |,|x_3|, \ldots, |x_{K-1}|,\epsilon+|x|\}$$ olarak seçilirse her $n\in \mathbb{N}$ için $|x_n|\leq M$ koşulu sağlanır yani $$(\exists M>0)(\forall n\in\mathbb{N})(|x_n|\leq M)$$ önermesi doğru olur. Bu ise $(x_n)_n$ dizisinin sınırlı olduğu anlamına gelir.