(⇒): ¯Y∘=∅ olsun.
¯Y∘=∅⇒⋃{U|(U⊆¯Y)(U∈τ)}=∅
⇒{U|(U⊆¯Y)(U∈τ)}={∅}
⇒(∀U∈τ∖{∅})(U⊈
\Rightarrow (\forall U\in\tau\setminus \{\emptyset\})(\exists x\in U)(x\notin\overline{Y})
\left.\begin{array}{rcl}\Rightarrow (\forall U\in\tau\setminus \{\emptyset\})(\exists x\in U)(\exists W\in\mathcal{U}(x))(W\cap Y=\emptyset) \\ \\ V:=W\cap U\end{array}\right\}\Rightarrow
\Rightarrow (\forall U\in\tau\setminus \{\emptyset\})(\exists V\in \tau\setminus\{\emptyset\})(V\subseteq U)(V\cap Y=\emptyset).
(\Leftarrow): Amacımız \overline{Y}^{\circ}=\emptyset olduğunu göstermek. Bunun için (\forall x\in X)\left(x\notin \overline{Y}^{\circ}\right) önermesinin doğru olduğunu yani (\forall x\in X)(U\in\mathcal{U}(x)\Rightarrow U\nsubseteq \overline{Y}) önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
x\in X ve U\in\mathcal{U}(x) olsun. U\nsubseteq \overline{Y} olduğunu gösterirsek kanıt biter.
\left.\begin{array}{rr} (x\in X)(U\in\mathcal{U}(x))\Rightarrow U\in\tau\setminus\{\emptyset\} \\ \\ \text{Hipotez}\end{array}\right\}\Rightarrow
\Rightarrow (\exists V\in\tau\setminus\{\emptyset\})(V\subseteq U)(V\cap Y=\emptyset)
\Rightarrow (\exists V\in\tau\setminus\{\emptyset\})(V\subseteq U)(V\cap \overline{Y}\subseteq \overline{V\cap Y}=\overline{\emptyset}=\emptyset)
\Rightarrow (\exists V\in\tau\setminus\{\emptyset\})(V\subseteq U)(V\cap \overline{Y}=\emptyset)
\Rightarrow (V\subseteq U)(V\nsubseteq \overline{Y})
\Rightarrow U\nsubseteq \overline{Y}.