Processing math: 23%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
215 kez görüntülendi
(X,τ) topolojik uzay ve YX olsun. ¯Y=(Uτ{})(Vτ{})(VU)(VY=).
Lisans Matematik kategorisinde (11.6k puan) tarafından  | 215 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
(): ¯Y= olsun.

¯Y={U|(U¯Y)(Uτ)}=

{U|(U¯Y)(Uτ)}={}

(Uτ{})(U

\Rightarrow (\forall U\in\tau\setminus \{\emptyset\})(\exists x\in U)(x\notin\overline{Y})

\left.\begin{array}{rcl}\Rightarrow (\forall U\in\tau\setminus \{\emptyset\})(\exists x\in U)(\exists W\in\mathcal{U}(x))(W\cap Y=\emptyset) \\ \\ V:=W\cap U\end{array}\right\}\Rightarrow

\Rightarrow (\forall U\in\tau\setminus \{\emptyset\})(\exists V\in \tau\setminus\{\emptyset\})(V\subseteq U)(V\cap Y=\emptyset).

 

(\Leftarrow): Amacımız  \overline{Y}^{\circ}=\emptyset  olduğunu göstermek. Bunun için (\forall x\in X)\left(x\notin \overline{Y}^{\circ}\right) önermesinin doğru olduğunu yani (\forall x\in X)(U\in\mathcal{U}(x)\Rightarrow U\nsubseteq \overline{Y}) önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

x\in X  ve  U\in\mathcal{U}(x)  olsun. U\nsubseteq \overline{Y} olduğunu gösterirsek kanıt biter.

\left.\begin{array}{rr} (x\in X)(U\in\mathcal{U}(x))\Rightarrow U\in\tau\setminus\{\emptyset\} \\ \\ \text{Hipotez}\end{array}\right\}\Rightarrow

\Rightarrow (\exists V\in\tau\setminus\{\emptyset\})(V\subseteq U)(V\cap Y=\emptyset)

\Rightarrow (\exists V\in\tau\setminus\{\emptyset\})(V\subseteq U)(V\cap \overline{Y}\subseteq \overline{V\cap Y}=\overline{\emptyset}=\emptyset)

\Rightarrow (\exists V\in\tau\setminus\{\emptyset\})(V\subseteq U)(V\cap \overline{Y}=\emptyset)

\Rightarrow (V\subseteq U)(V\nsubseteq \overline{Y})

\Rightarrow U\nsubseteq \overline{Y}.
(11.6k puan) tarafından 
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,091,178 kullanıcı