Question

Her  $n\in \mathbb{N}$ $$|x_n|\le \frac{2n^2+3}{n^3+5n^2+3n+1}$$  ise $(x_n)$ dizisinin Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Cauchy dizisi tanımını biliyorum ama bir çözüm üretemedim. Eşitsizliğin sağ tarafı sıfıra yakınsıyor  ama bu  $x_n$ dizisinin Cauchy olması için yeterli mi? Nasıl yapacağız? Teşekkürler.

Comments

$\mathbb{R}$'de her yakınsak dizi bir Cauchy dizisi. Dolayısıyla $(x_n)_n$ dizisinin yakınsak olduğunu göstermen yeterli olacak.

---

Hocam sağ taraftaki dizi yakınsak olduğundan $x_n$ dizisinin de yakınsak olduğunu direkt söyleyemez miyiz?

---

$\forall n\in\mathbb{N}$ için, $(-1)^n\leq2+\frac1n$ ve sağdaki dizi yakınsak. Soldaki dizi yakınsak mı?

Sıkıştırma Teoremini biliyor musun?

---

Değil hocam.  Şu şekilde yazıp sıkıştırma teoremine göre limit mi alacağız? $$-\frac{2n^2+3}{n^3+5n^2+3n+1}\le x_n\le \frac{2n^2+3}{n^3+5n^2+3n+1}$$

---

Bir dene bakalım. Olmazsa başka bir şey denersin.