$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ olduğunu gösteriniz.

Question

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$  old. gösteriniz.

Eşit küme tanımı: $A = B \Leftrightarrow \forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B)$

$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$$ olduğunu göstermek için $$\forall x [x \in A \cup (B \cap C) \Leftrightarrow x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)]$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$\forall x [x \in A \cup (B \cap C) \Leftrightarrow x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)]$

$\equiv$

$\forall x [x \in A \vee x \in B \cap C \Leftrightarrow x \in (A \cup B) \wedge x \in (A \cup C)]$

$\equiv$

$\forall x [x \in A \vee (x \in B \wedge x \in C) \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in A \vee x \in C)]$

$\equiv$

$\forall x [(x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in A \vee x \in C) \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in A \vee x \in C)]$

(veya nın ve üzerine dağılma özelliğinden)

$x \in A \vee x \in B \equiv p$ olsun.

$x \in A \vee x \in C \equiv q$ olsun.

$\equiv \forall x [(p \wedge q) \Leftrightarrow (p \wedge q)]$

$(a \Leftrightarrow a \equiv 1)$ olduğundan;

$\equiv \forall x (1\Leftrightarrow 1)$

$\equiv \forall x 1 \equiv 1$ olduğundan doğrudur.

Böyle bir çözüm yaptım (yanlış yazmadıysam) doğru mu?

Comments

Bir yerlerde gözümden kaçan bir hata yoksa doğru gözüküyor. İki kümenin eşit olduğunu göstermek için

$A=B\Leftrightarrow (A\supset B)\wedge (B\supset A)$ çift yönlü gerektirmesi de kullanılıyor.

---

Gayet güzel olmuş @Bilgeonb. Ellerine sağlık.

---

Onu da deneyip ekleyeceğim altına teşekkür ederim.