Question

Her $x>0$ için $x^{\frac1x}\leq x^x$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$0\lt x\lt 1\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}\gt x\Leftrightarrow\ln x\lt 0$  için $$\dfrac{1}{x}\ln x\lt x\ln x\Leftrightarrow\ln x^{1/x}\lt \ln x^x\Leftrightarrow e^{\ln x^{1/x}}\lt e^{\ln x^x}\Leftrightarrow x^{1/x}\lt x^x$$

$x\gt 1\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}\lt x\Leftrightarrow\ln x\gt 0$ için $$\dfrac{1}{x}\ln x\lt x\ln x\Leftrightarrow\ln x^{1/x}\lt \ln x^x\Leftrightarrow e^{\ln x^{1/x}}\lt e^{\ln x^x}\Leftrightarrow x^{1/x}\lt x^x$$ olur.

Eşitlik durumunda $$x^{1/x}=x^x\Leftrightarrow x=1/x\Leftrightarrow x^2=x\Leftrightarrow x=\mp 1$$ ve $x\gt 0$  olduğundan $x=1$ olmalıdır.