Question

Her $\delta>0$ için $\frac{\delta+1}{2\delta+1}<e^{\delta}$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Şöyle de olmuyor mu:

$\delta>0$ için:

$e^\delta>1+\delta$ (bu, ODT ile, kolayca gösteriliyor) ve $1+2\delta>1$ öyleyse (taraf tarafa çarparak)

$(1+2\delta)\,e^\delta>1+\delta$.

Her iki tarafı $1+2\delta$ ya bölerek istenen eşitsizlik elde edilir.

---

Evet hocam böyle de olur. Ben ilgili soruyu yanıtlarken ilk önce $f(x)=e^x$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonu ile $g(x)=\frac{x+1}{2x+1}$ kuralı ile verilen $g$ fonksiyonunun grafiklerini çizdim. Daha sonra $x>0$ için $g$ fonksiyonunun grafiğinin $f$ fonksiyonunun grafiğinin altında kaldığını gözlemledim. Cebirsel bir kanıt yapmamıştım. Ne gibi yanıtlar gelir düşüncesiyle bir soru olarak sormuştum.

Answer 1

$f(x)= e^x - \dfrac{x+1}{2x+1}$ fonksiyonunun pozitif girdiler için pozitif değerler vermesini istiyoruz. Soru bunu soruyor.

$x=0$ için $f(0)=0$ olduğu görülüyor.

Öte yandan her $x \geq 0$ için $$f'(x)= e^x - \frac{2x+1-2(x+1)}{(2x+1)^2} = e^x + \frac{1}{(2x+1)^2} > 0$$ olduğundan $f$'nin istediğimiz bölgede hep artan olduğunu anlıyoruz. Dolayısıyla, $x>0$ için $f(x)>0$ oluyor. Güzelmiş.