Question

$x,y\in [0,\infty)$ olmak üzere $$\frac{x^2+y^2}{4}\leq e^{x+y-2}$$ olduğunu gösteriniz.

Comments

$x=0,y=-1$
 için eşitsizlik doğru degil hocam,

---

Düzenledim Anıl.

---

Benim çözümde, Aritmetik-Geometrik Ortalama eşitsizliğini ters yazmışım. Düzelteceğim.

Answer 1

Düzeltilmiş şekli:

( $\forall\ x,y\geq0$ için) $x^2+y^2\leq (x+y)^2$ olur.

Üstel fonksiyonla ilgili (türevle gösterilebilen veya üstel fonksiyonun tanımdan elde edilebilen)

$\forall\ u\in\mathbb{R}$ için $e^u\geq1+u$ eşitsizliğini kullanacağız.

Bu eşitsizlikten, $\forall\ u\in\mathbb{R}$ için $e^{u-1}\geq u$  elde edilir.

Bunları birleştirerek (ve $u=\frac{x+y}2$ aldığımızda  $u\geq0$ olur)

( $\forall\ x,y\geq0$ için) $\frac{x^2+y^2}4\leq \frac{(x+y)^2}4=u^2\leq(e^{u-1})^2=e^{2u-2}=e^{x+y-2}$

elde edilir.

Comments

Hocam ispatta $\frac{x^2+y^2}{2}\geq \sqrt{x^2y^2}=xy$           olması gerekmez miydi?

---

Teşekkürler. Düzelttim.