Question

$E:=[(E,\oplus),\odot,(\mathbb{F},+,\cdot),\|\cdot\|]$ normlu vektör uzay ve $A\subseteq E$ olsun.

$A$ konveks alt vektör uzayı ise $\overline{A}$ kümesinin de konveks olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Önce tanımı hatırlayalım:

Tanım: $E:=[(E,\oplus),\odot,(\mathbb{F},+,\cdot),\|\cdot\|]$ normlu vektör uzayı ve $A\subseteq E$ olsun.

$A, \text{ konveks} :\Leftrightarrow (\forall x,y\in A)(\forall \alpha\in [0,1])(\alpha \odot x\oplus (1+(-\alpha))\odot y\in A)$

 

$x,y\in \overline{A}$  ve  $\alpha\in[0,1]$ olsun. Amacımız  $\alpha \odot x\oplus (1+(-\alpha))\odot y\in \overline{A}$ olduğunu göstermek.

$\left.\begin{array}{rr} x,y\in \overline{A}\Rightarrow (\exists (x_n)_n,(y_n)_n\in A^{\mathbb{N}})(x_n\to x)(y_n\to y) \\ \\ A, \text{  konveks} \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (\alpha\odot (x_n)_n\oplus (1+(-\alpha))\odot (y_n)_n\in A^{\mathbb{N}})(\alpha\odot (x_n)_n\oplus (1+(-\alpha))\odot (y_n)_n\to \alpha \odot   x\oplus (1+(-\alpha))\odot y)$

$\Rightarrow \alpha\odot x\oplus (1+(-\alpha))\odot y\in \overline{A}.$