Verilen sonsuz toplama eşit olan bir sonlu toplamı bulunuz

Question

Bir $k$ pozitif tam sayısı ve $(a_n)_{n=1,2,...,k-1}$ dizisi için

\begin{equation*}
    S = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n [\frac{a_1}{kn+1} + \frac{a_2}{kn+2} + ... + \frac{a_{k-1}}{kn+(k-1)}]
\end{equation*}

yukarıdaki sonsuz toplamın değerine eşit bir sonlu toplam yazınız.

(Yani bulacağınız sonuç bir $f$ iki değişkenli fonksiyonu için

\begin{equation*}
    S = \sum_{i = 1}^{k-1} a_i f (i,k)
\end{equation*}

şeklinde olmalıdır.)

Buradan hareketle,

\begin{equation*}
    = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n [\frac{1}{4n+1} + \frac{1}{4n+3}] = \frac{\pi}{2\sqrt2}
\end{equation*}

olduğunu gösteriniz

Answer 1

\begin{align*}
    S &= \sum_{n = 0}^{\infty}  (-1)^n \left(\frac{a_1}{kn+1} + \frac{a_2}{kn+2} + \cdots + \frac{a_{k-1}}{kn+(k-1)}\right)\\&=\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \int_0^1\left({a_1x^{kn}} + {a_2x^{kn+1}} + \cdots + {a_{k-1}x^{kn+(k-2)}}\right)\,dx\\&=\int_0^1\left(\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \left( {a_1x^{kn}} + {a_2x^{kn+1}} + \cdots + {a_{k-1}x^{kn+(k-2)}}\right) \right)\,dx\\&= a_1\int_0^1\left( \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n  x^{kn}\right) \,dx +a_2\int_0^1 \left( \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^nx^{kn+1}\right) \,dx + \cdots +a_{k-1}\int_0^1 \left( \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^nx^{kn+(k-2)}\right) \,dx     
\end{align*}

(3. satırdaki sonsuz toplam ve integralde işlem sırası değiştirmek için yeterli koşullar sağlanıyor.)

(EK: $0\leq x<1$ için) $\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n {x^{kn+i-1}}  =\frac{x^{i-1}}{1+x^{k}} $   olduğundan,
    $ f(i,k)=\int_0^1\frac{x^{i-1}}{1+x^{k}}\,dx $ olmak üzere  
    \[ \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \left( \frac{a_1}{kn+1} + \frac{a_2}{kn+2} + \cdots + \frac{a_{k-1}}{kn+(k-1)}\right) =\sum_{i=1}^{k-1} a_if(i,k)\]  bulunur.

Son eşitlik $\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n [\frac{1}{4n+1} + \frac{1}{4n+3}] = \frac{\pi}{2\sqrt2}$ eşitliği, bu formülü kullanarak, biraz integrasyon tekniği ile hesaplanabiliyor gösterilebiliyor.

Comments

Youtube da Michael Penn in kanalında sadece son eşitlik, aynı yöntemle,  bulunmuş.