Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
454 kez görüntülendi
Bir k pozitif tam sayısı ve (an)n=1,2,...,k1 dizisi için

S=n=0(1)n[a1kn+1+a2kn+2+...+ak1kn+(k1)]

yukarıdaki sonsuz toplamın değerine eşit bir sonlu toplam yazınız.

(Yani bulacağınız sonuç bir f iki değişkenli fonksiyonu için

S=k1i=1aif(i,k)

şeklinde olmalıdır.)

Buradan hareketle,

=n=0(1)n[14n+1+14n+3]=π22

olduğunu gösteriniz
Lisans Matematik kategorisinde (59 puan) tarafından  | 454 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

S=n=0(1)n(a1kn+1+a2kn+2++ak1kn+(k1))=n=0(1)n10(a1xkn+a2xkn+1++ak1xkn+(k2))dx=10(n=0(1)n(a1xkn+a2xkn+1++ak1xkn+(k2)))dx=a110(n=0(1)nxkn)dx+a210(n=0(1)nxkn+1)dx++ak110(n=0(1)nxkn+(k2))dx

(3. satırdaki sonsuz toplam ve integralde işlem sırası değiştirmek için yeterli koşullar sağlanıyor.)

(EK: 0x<1 için) n=0(1)nxkn+i1=xi11+xk   olduğundan,
    f(i,k)=10xi11+xkdx olmak üzere  
    n=0(1)n(a1kn+1+a2kn+2++ak1kn+(k1))=k1i=1aif(i,k)  bulunur.

Son eşitlik n=0(1)n[14n+1+14n+3]=π22 eşitliği, bu formülü kullanarak, biraz integrasyon tekniği ile hesaplanabiliyor gösterilebiliyor.

(6.3k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Youtube da Michael Penn in kanalında sadece son eşitlik, aynı yöntemle,  bulunmuş.

20,336 soru
21,890 cevap
73,625 yorum
3,140,339 kullanıcı