Merhabalar, bu soru hakkında yaklaşık 10 gündür düşünüyorum. Elbette uzun bir kısmını çözdüm fakat takıldığım yer aşağıda da belirteceğim üzere a=e kısmı.
O halde soruyu çözümleyelim. ∑an⋅n!nn. Bu serinin gözüme çarpan bir kaç elemanından dolayı "Oran Testi" uygulamaya karar verdim ve limn→∞|(n+1)!an+1(n+1)n+1⋅nnn!an| o halde burayı da çözümlersek. limn→∞ann(n+1)n. O zaman a'yı dışarı çıkartabiliriz çünkü değişken a'yı etkilemiyor. limn→∞ann(n+1)n=alimn→∞(n+1n)−n burada da açıkça görülyor ki: alimn→∞(n+1n)−n=ae. O halde, eğer a=e ise (benim takıldığım kısım) ne olduğuna bakmamız gerekiyor, çünkü "Oran Testi" sonuç vermiyor. eğer 0<a<1 ise yakınsıyor ve eğer a>e ise ıraksar.
a=e eşitliği için bakarsak eğer, "Oran Testi"nin işe yaramdığını ve "Raabe" testini uygulamamız gerektiğini görüyoruz. Eğer, n(1−e⋅nn(n+1)n) yazabiliriz. Ben burada öncelikle binom açılımını denedim. n(nn(1+1n)n−ennnn(1+1n)n). O halde, n((1+1n)n−e(1+1n)n). Fakat buradan sonuç bulamadım. Sonra düşünürken başka bir seriile kıyaslamayı denedim. Bu durumda ise:
n→∞ giderken, ln(n)≤np≤bn≤n!≤nn,p>0,b>1 Eşitsizliği bilinir. Bunlardan yola çıkarak, ∑en⋅n!nn şu diziyi yazdım. an=(n!)2nn ve bn=enn!nn ile kıyasladım fakat dişe dokunur bir sonuç gelmedi.(Limit Karşılaştırma Testi). Daha sonra, Direkt Karşılaştırma Testini kullandım. ∑enn!nn≤∑(n!)2nn Bu seri de ıraksak çıktığı için bir sonuca varamadım. Yine denemeye devame edeceğim. Eğer bulursam paylaşacağım.