$(X,\preceq)$ zincir ve $A\subseteq X$ olsun. Eğer $A$ kümesinin maksimumu varsa o zaman $A$ kümesinin maksimal elemanlarının oluşturduğu $M(A)$ kümesinin $M(A)=\{\max A\}$ olduğunu gösteriniz.

Question

Benzer şekilde "$(X,\preceq)$ zincir ve $A\subseteq X$ olsun. Eğer $A$ kümesinin minimumu varsa o zaman $A$ kümesinin minimal elemanlarının oluşturduğu $m(A)$ kümesinin $m(A)=\{\min A\}$ olduğunu gösteriniz" sorusu da sorulabilir.

Answer 1

$(X,\preceq)$ zincir (tam sıralama) ve $A\subseteq X$ bir maksimum elemana sahip olsun. Bir kümenin maksimum elemanı varsa biricik olduğunu biliyoruz. $A$ kümesinin her eleman çifti zincir tanımından dolayı birbiriyle karşılaştırılabilir olduğundan her elemanı maksimum elemandan küçük olmalıdır. Dolayısıyla bu elemandan daha büyük bir elaman bulamayız; yani maksimal eleman maksimum olmalıdır. Bu durumda maksimal eleman tanımından ötürü (maksimal eleman kümedeki karşılaştırılabildiği elemanlardan daha büyük olan elemandır) başka bir eleman maksimal olamaz. Demek ki $M(A)=\{\max A\}$ olmalıdır.

Answer 2

Detaylı maksimal (minimal) eleman tanımına bu linkten bakılabilir.

Tanım: $(X,\preceq)$ poset, $A\subseteq X$ ve $x\in A$ olsun.

$x, \ A\text{'nın maksimal elemanı}:\Leftrightarrow (\forall y\in A)(x\preceq y\Rightarrow x=y)$

$M(A):=\{x\in A| (\forall y\in A)(x\preceq y\Rightarrow x=y)\}$

 

$A$ kümesinin maksimumu mevcut olsun. $\max A$ nesnesinin $A$ kümesinin bir maksimal elemanı olduğunu gösterelim.

$y\in A$ ve $\max A \preceq y$ olsun. Amacımız $\max A=y$ olduğunu göstermek.

$$\left.\begin{array}{rcl} y\in A\Rightarrow y\preceq \max A \\ \\ \max A\preceq y\end{array}\right\}\overset{?_1}{\Rightarrow} \max A=y$$

olur. O halde $\max A,$  $A$ kümesinin bir maksimal elemanı yani $\max A\in M(A)\ldots (1)$

 

Şimdi de $A$ kümesinin $\max A$ elemanından başka bir maksimal elemanının olmadığını gösterelim.

$z\in M(A)$ ve $z\neq\max A$ olduğunu varsayarsak

$$\left.\begin{array}{rcl} z\in M(A)\Rightarrow (\forall y\in A)(z\preceq y\Rightarrow z=y) \\ \\ \max A\in A \end{array}\right\}\overset{?_2}{\Rightarrow} z=\max A$$ elde edilir ki bu da $z\neq\max A$ ile çelişir $\ldots (2)$

 

O halde $(1),(2)\Rightarrow M(A)=\{\max A\}$ elde edilir.

 

NOT: $?_1$ ve $?_2$ gerekçelerini okura bırakalım.