Question

$(X,\preceq)$ poset ve $A\subseteq X$ olmak üzere $A$ kümesinin minimali (maksimali) nasıl tanımlanır?

Answer 1

Tanım: $(X,\preceq)$ poset, $A\subseteq X$ ve $x\in A$ olmak üzere eğer $x,$ $A$ kümesi içinde kendisiyle kıyaslanabilen her elemandan önce (sırasıyla sonra) geliyorsa $x$ elemanına $A$ kümesinin bir minimal (sırasıyla maksimal) elemanı denir ve $A$ kümesinin minimal elemanlarının oluşturduğu küme $m(A) (\text{sırasıyla } M(A))$ ile gösterilir. Buna göre $x,$ $A$ kümesinin bir minimal (sırasıyla maksimal) elemanıysa ya $A$ kümesinin diğer elemanları ile kıyaslanamaz ya da kıyaslanabiliyorsa onlardan önce (sırasıyla sonra) gelir.

$$x, A\text{'nın minimal elemanı}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(y\in A)(x\neq y\to [x\preceq y\vee (x\npreceq y\wedge y\npreceq x)])$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(y\in A)(x\neq y\to [\underset{1}{\underbrace{(x\preceq y\vee x\npreceq y)}}\wedge (x\preceq y\vee y\npreceq x)])$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(y\in A)(x\neq y\to [x\preceq y\vee y\npreceq x])$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(y\in A)([x\npreceq y\wedge y\preceq x]\to x=y)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(y\in A)[\underset{0}{\underbrace{(x\npreceq y \to x=y)}} \vee (y\preceq x \to x=y)]$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(y\in A)(y\preceq x \to x=y)$$

 

$$m(A):=\{x\in A| x, A\text{'nın minimal elemanı}\}$$

$$=$$

$$\{x\in A|(y\in A)(y\preceq x \to x=y)\}.$$

 

Benzer işler maksimal için de yapılabilir.