$(\frac{1}{n})$ dizisinin büzen (contractive) bir dizi olmadığını gösteriniz.

Question

$\left(\dfrac{1}{n}\right)$ dizisinin büzen (contractive) bir dizi olmadığını gösteriniz.

Tanım: $(x_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ yani $(x_n)$ bir gerçel sayı dizisi olsun.

$(x_n), \text{ büzen dizi}:\Leftrightarrow (\exists c\in (0,1))(\forall n\in\mathbb{N})(|x_{n+2}-x_{n+1}|\leq c\cdot |x_{n+1}-x_n|)$

Answer 1

$c \left( \dfrac{1}{n}  - \dfrac{1}{n+1}\right) \geq \left( \dfrac{1}{n+1}  - \dfrac{1}{n+2}\right)$ eşitsizliğinden $c \geq \dfrac{n}{n+2}$ elde edilir. $ f(n) = \dfrac{n}{n+2}$ dersek $ f(n) = 1 - \dfrac{2}{n+1}$ olup $f$ monoton artan bir dizidir. Ayrıca $ \displaystyle {\lim_{n\to \infty}} f(n) = 1$ olur. Yani, $f$ nin $1$'e istediğimiz kadar yakın ve sonsuz çoklukta terimi bulunur. Her $n$ pozitif tam sayısı için

$$ c \geq f(n) \implies c \geq 1 $$

elde ederiz. $c\not \in (0,1)$ olup $\left(\dfrac{1}{n}\right)$ dizisinin büzen (contractive) bir dizi olmadığını anlarız.

Answer 2

Bir $(x_n)_n\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ gerçel sayı dizisinin bir büzen dizi olması 

$$(\exists c\in (0,1))(\forall n\in\mathbb{N})(|x_{n+2}-x_{n+1}| \leq c\cdot |x_{n+1}-x_n|)$$ önermesinin doğru olması şeklinde tanımlandığına göre, bir dizinin büzen dizi olmaması da

$$(\exists c\in (0,1))(\forall n\in\mathbb{N})(|x_{n+2}-x_{n+1}| \leq c\cdot |x_{n+1}-x_n|)$$

önermesinin DOĞRU OLMAMASI yani

$$(\exists c\in (0,1))(\forall n\in\mathbb{N})(|x_{n+2}-x_{n+1}| \leq c\cdot |x_{n+1}-x_n|)$$

önermesinin değilinin DOĞRU OLMASI yani

$$(\forall c\in (0,1))(\exists n\in\mathbb{N})(|x_{n+2}-x_{n+1}| > c\cdot |x_{n+1}-x_n|)$$

önermesinin DOĞRU OLMASI anlamına gelir.

Şimdi $$(\forall c\in (0,1))(\exists n\in\mathbb{N})(|x_{n+2}-x_{n+1}| > c\cdot |x_{n+1}-x_n|)\ldots (*)$$ önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

Her $c\in (0,1)$ için $n:=\left\lfloor \frac{2c}{1-c}\right\rfloor +1$ seçilirse

$$\begin{array}{rcl} n:=\left\lfloor \frac{2c}{1-c}\right\rfloor+1 & \Rightarrow & n > \frac{2c}{1-c} \\ \\ & \Rightarrow & \frac{n}{n+2}>c \\ \\ & \Rightarrow & \frac{1}{(n+1)(n+2)}>c\cdot \frac{1}{n(n+1)} \\ \\ & \Rightarrow & \left|\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right| > c\cdot\left|\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right| \end{array}$$

olur. Yani $(*)$ önermesi doğrudur. O halde $(\frac{1}{n})_{n\in\mathbb{N}}$ dizisi bir büzen dizi değildir.