$(\arctan n)_n$ dizisi bir büzen dizi midir?

Question

$(\arctan n)_n$ dizisi bir Cauchy dizisidir. Peki bu dizi acaba bir büzen dizi midir?

Answer 1

$(\arctan n)_n$ dizisinin bir büzen dizi olduğunu varsayalım. Bu durumda $$(\exists c\in (0,1))(\forall n\in\mathbb{N})(|x_{n+2}-x_{n+1}|\leq c\cdot |x_{n+1}-x_n|)$$ önermesi doğrudur yani öyle bir $c\in (0,1)$ vardır ki her $n\in\mathbb{N}$ için $$\left|\arctan(n+2)-\arctan(n+1)\right|\leq c\cdot |\arctan(n+1)-\arctan n|$$ yani $$\left|\arctan\left(\frac{1}{1+(n+1)(n+2)}\right)\right|\leq c\cdot \left|\arctan\left(\frac{1}{1+n(n+1)}\right)\right|$$ yani $$\frac{\arctan\left(\frac{1}{n^2+3n+3}\right)}{\arctan\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)}\leq c$$ koşulu sağlanır. Bu koşul her $n\in\mathbb{N}$ için sağlandığından $$1=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\arctan\left(\frac{1}{n^2+3n+3}\right)}{\arctan\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)}\leq \lim\limits_{n\to \infty}c=c$$ olmalıdır. Bu ise $c\in (0,1)$ ile çelişir. Demek   ki $(\arctan n)_n$ dizisi bir büzen dizi değilmiş.