$\{x\in\mathbb{R}|\sin (x \text{ radyan})+\sin(x\text{ derece})=2\}\overset{?}{=}\emptyset$

Question

$\{x|\sin (x \text{ radyan})+\sin(x\text{ derece})=2\}$ kümesi boşküme midir?

Comments

$x$ nerden?..

---

$x\in\mathbb{R}$ olsun.

---

Bence $\mathbb C$ olsun.

Answer 1

Sinüs fonksiyonu sınırlı, yani $|\sin\theta | \leq 1$ olduğundan dolayı $$\sin x + \sin\left(\frac{2\pi x}{360}\right)=2 \iff  \sin x = 1 \text{  ve  } \sin\left(\frac{2\pi x}{360}\right) = 1$$

yazabiliriz. Böylece $x= \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ ve $\dfrac{2\pi x}{360} = \dfrac{\pi}{2} + 2t\pi$ olacak şekilde $k,t \in \mathbb {Z}$ bulmalıyız. Birinci eşitliğe göre $x$ irrasyoneldir, ikinci eşitliğe göre $x = 90 + 360 t$ biçiminde bir tam sayıdır. Dolayısıyla denklemin çözüm kümesi boştur.

Comments

@lokman gökçe hocanın çözümü bana göre benim çözümümden daha sade ve daha güzel.

---

Sağolun @murad.ozkoc hocam. Ben de sizin çözümünüze bakarak fikir aldım :)

Answer 2

$$\sin (x \text{ radyan}) + \sin(x \text{ derece})=2$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin x + \sin\left(\frac{2\pi x}{360}\right)=2$$ $$\Rightarrow$$ $$2\cdot \sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{360}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi x}{360}\right)=2$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{360}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi x}{360}\right)=1$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{360}\right) = \sec \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi x}{360}\right)$$ $a:=\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{360}$   ve   $b:=\frac{x}{2}+\frac{\pi x}{360}$  dersek  
$$\sin a=\sec b$$ olur. Her $y\in\mathbb{R}$ için $$|\sin y|\leq 1$$  ve   $$|\sec y|\geq 1$$ olduğudan $$\sin a=\sec b=1$$ olup olmadığını incelememiz gerekir. Bundan sonrası artık kolay. Bundan sonrasını da okuyucuya bırakalım.