Radyan ve dereceli bir sinüs sorusu daha

Question

Ilgili soruda ilgilenilen

$$A = \{ x \colon \sin(x \text{ radyan}) + \sin(x \text{ derece}) = 2\}$$

kümesi yerine bir $0 < \epsilon < 1$ için

$$A_\epsilon = \{ x \colon \sin(x \text{ radyan})+\sin(x \text{ derece}) = 2- \epsilon\}$$

kümesine baksak cevap nasıl değişir?

Comments

Daha geniş bir aralık olarak $-4 < \epsilon < 2$ aralığındaki bazı $\epsilon$ değerleri için $\sin(x) + \sin\left (\dfrac{2\pi x}{360} \right) = 2 - \epsilon$ denklemini sağlayan $x$ gerçel sayılarının olduğunu gösterebiliriz. Özellikle $0$'a çok yakın bazı pozitif $\epsilon$ değerleri bulunabilir. (Ama $-4 < \epsilon < 2$ aralığındaki her $\epsilon$ için bir $x$ çözümü bulamayız.) 

wolfram alpha yardımıyla $\sin(x) + \sin\left (\dfrac{2\pi x}{360} \right) = \dfrac{199}{200}$ denkleminin çözümleri olduğunu (bir çözümünün yaklaşık olarak $x \approx 89,394$) anlıyoruz. 

İspat yaparken bu tür bir grafik yardımcı olabilir diyerek bir yorum bırakayım.

---

Neden her $\epsilon$ için bulamayacağımızı göremiyorum ben.

---

Gerçel sayılarda sürekli, sınırlı, periyodik olan $f(x) = \sin(x) + \sin\left (\dfrac{2\pi x}{360} \right)$ fonksiyonumuz var. Ayrıca $f$ tek fonksiyondur. $-2<f(x) < 2$ olduğunu biliyoruz. O halde $f_\max =a$ dersek $a< 2$ olacaktır. $f$ fonksiyonunun görüntü kümesi $[-a,a]$ olup $(a,2]$ aralığındaki değerlerin hiçbirini alamaz. Tek fonksiyon özelliğinden dolayı $f$ fonksiyonu $[-2,-a)$ aralığındaki değerlerin hiçbirini yine alamaz.

---

Benim asıl amacım zaten olayı periyoda getirmekti. "Periyodik değildir çünkü periyodik olsa, maximum değerini alırdı" gibi bir şey demek için bu soruyu sordum. Bu fonksiyon neden periyodik? Periyodu ne?

---

$\sin(x)$ in periyodu $2 \pi$ ve $\sin\left (\dfrac{2\pi x}{360} \right)$ in periyodu $360$ olduğundan toplam fonksiyonu da periyodik olur diye düşündüm. Öte yandan $2 \pi$ ve $360$ sayılarının en küçük ortak katı gibi bir şey hesaplayamayacağım. Bu bir sorun oluşturur mu emin değilim.

 

Pediyodik olmasa bile, $f$ fonksiyonu sınırlı ve sürekli olduğundan $\mathbb R$ üzerinde bir maks ve bir min değere sahip olur dedim. $[-n, n]$ gibi bir kapalı aralıkta $f$ fonksiyonu sürekli olduğundan bu aralıkta bir maks değere sahiptir. $n$ yi ne kadar büyütürsek büyütelim bu durum değişmeyecek.

 

Belki hata yapıyorumdur. Bu noktada başka görüşleri de duymak isterim.

---

Sınırlı ve sürekli olması bütün reel sayılarda maks değeri olmasını gerektirmiyor. Asimptotları olabilir mesela arctan gibi. Ama kapalı bir aralıkta ya da genel olarak kompakt bir kümede maksimum değerini almak zorunda. Extremum value theorem diye geçmesi lazım. (Bu yorumlar daha çok bunu okuyan genç arkadaşlara).

O yüzden eğer periyodik ise bir yukarıdaki yorumda olduğu gibi bir $a$ sayısı olacak. Onu bulmak da enteresan bir soru olabilir eğer böyle bir üst sınır varsa.

---

Haklısınız, arctan örneği güzel.

Periyodik iki fonksiyonun toplamı her zaman periyodik midir? Buna olumlu cevap verebilirsek sorunun çözümü tamamlanmış olacak. Ama sorunun cevabı olumlu mudur, bunu henüz iyi düşünmedim.

---

Benim de beynimde yeteri kadar alan yok şu an :)

---

$sin(x)$ ile $sin(\sqrt2 x)$ in toplami bence periyodik degil ya

---

Hatta bir asama daha ileri gidiyor ve iddia ediyorum ki $T_1$ ve $T_2$ periyodlu iki fonksyonun toplami periyodiktir ancak ve ancak $\frac{T_1}{T_2}$  rasyonel ise
diyorum

---

Cok daha patolojik ornekler uretebiliriz sanirim asagidaki fonksyonla.
Mesela rasyonal sayilarda $1$, irrasyonel sayilarda $0$ veren $D(x)$ fonksyonu da periyodik. Hatta tum rasyonel sayilar bu fonksyonun periyodu
$\forall_{P : \mathbb{Q}} \quad D(x + P) = D(x)$