$``A \subseteq int( A \cup (X \setminus cl(A)))\Rightarrow A = int (A \cup (X \setminus cl(A))) \cap cl( A)"$ önermesi her zaman doğru mudur?

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A \subseteq X$ olsun.

$$``A \subseteq int( A \cup (X \setminus cl(A)))\Rightarrow A = int (A \cup (X \setminus cl(A))) \cap cl(A)"$$
önermesi her zaman doğru mudur?

 

örnek olarak,

$(0,1]=A \Rightarrow cl(A)=[0,1]$

                      $\Rightarrow \Re \setminus [0,1] =$ $(-\infty,0) \cup (1, \infty)$

                      $int((0,1] \cup(-\infty,0) \cup (1, \infty)) \cap [0,1]= (0,1] =A$

ve aynı şekilde $(0,1)$ ve $\aleph$  eşitliği sağlıyor ama ispatlayamadım yardımcı olabilir misiniz?

Comments

Sen bu soruda ne(ler) düşündün/denedin @Bilge zc?

---

Birkaç özel küme üzerinde çalıştım. Ele aldığım örnekler iddianın doğruluğunu destekliyor ama kanıtlayamadım.

---

Bu uzay çok özel. ($\mathbb{R}$ de ya da başka kümelerde) Daha garip topolojileri bir dene istersen.

---

$A\subseteq int (A \cup (X \setminus cl(A))) \cap cl(A)$ apaçık değil mi?

Sorun, varsa, diğer kapsamada olmalı.

---

Bira daha "anormal" alt kümeleri düşün.

---

Her $A\subseteq X$ için $X=int(A)\cup Bd(A)\cup ext(A)$ (ayrık birleşim) $int(A)$ ve $ext(A)$ açık kümelerdir ve $cl(A)=int(A)\cup Bd(A)$ olduğu biliniyor olmalı. Bunu kullanarak önermenin doğruluğu gösterilebilir.

Answer 1

$A\subseteq int(A\cup (X\setminus cl(A)))$ olsun.

Amacımız $$A= int(A\cup (X\setminus cl(A)))\cap cl(A)$$ olduğunu göstermek. Bunun için de $$A\subseteq  int(A\cup (X\setminus cl(A)))\cap cl(A)$$ ve $$A\supseteq int(A\cup (X\setminus cl(A)))\cap cl(A)$$ olduğunu göstermeliyiz.

 

$A\subseteq int(A\cup (X\setminus cl(A)))$

$\Rightarrow$

$A\cap cl(A)\subseteq int(A\cup (X\setminus cl(A)))\cap cl(A)$

$\Rightarrow$

$A\subseteq int(A\cup (X\setminus cl(A)))\cap cl(A)\ldots (1)$
 

$\begin{array}{rcl} int(A\cup (X\setminus cl(A)))\cap cl(A) & \subseteq & (A\cup (X\setminus cl(A)))\cap cl(A) \\ & = & [A\cap cl(A)]\cup [(X\setminus cl(A))\cap cl(A)] \\ & = & A \cup \emptyset \\ & = & A\ldots (2)\end{array}$

 
$(1),(2)\Rightarrow A=int(A\cup (X\setminus cl(A)))\cap cl(A).$

Comments

Bu linkte yer alan bilgilere bakıldığında bir topolojik uzayda $$A\subseteq int(A\cup (X\setminus cl(A)))$$ koşulunu sağlayan kümelerin yerel kapalı olduğunu anlıyoruz.