Question

$\mathcal{B}=\{(p,q)|p,q\in  \mathbb{Q}\}$ ailesinin $\mathbb{R}$ kümesi üzerindeki alışılmış topoloji için bir baz olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi üzerindeki alışılmış topolojinin elemanları, açık aralıkların birleşimleri şeklinde yazılan kümeler olduğundan her $a,b\in\mathbb{R}$ için $(-\infty,a),$ $(a,\infty),$ $(a,b)$ ve $\mathbb{R}$ şeklindeki herhangi bir açık aralığın, uç noktaları rasyonel olan açık aralıkların birleşimi şeklinde yazılabileceğini göstermek yeterli olacaktır.

 

$1)$ $a\in\mathbb{Q}$  ise  $(-\infty,a)=\bigcup \{(a-n,a)|n\in\mathbb{N}\}$

 

$2)$ $a\in\mathbb{I}$  ise  $(-\infty,a)=\bigcup \left\{\left(\frac{\lfloor a\cdot10^n\rfloor}{10^n}-n,\frac{\lfloor a\cdot10^n\rfloor} {10^n}\right)\Big{|}n\in\mathbb{N}\right\}$

 

$3)$ $a\in\mathbb{Q}$  ise  $(a,\infty)=\bigcup \{(a,a+n)|n\in\mathbb{N}\}$

 

$4)$ $a\in\mathbb{I}$  ise  $(a,\infty)=\bigcup \left\{\left(\frac{\lceil a\cdot 10^n\rceil}{10^n},\frac{\lceil a\cdot 10^n\rceil}{10^n}+n\right)|n\in\mathbb{N}\right\}$

 

$5)$ $a,b\in\mathbb{Q}$ ise $(a,b)=\bigcup \{(a,b)\}$

 

$6)$ $a\in\mathbb{Q}$  ve  $b\in\mathbb{I}$ ise $(a,b)=\bigcup \left\{\left(a,\frac{\lfloor b\cdot 10^n\rfloor}{10^n}\right)|n\in\mathbb{N}\right\}$

 

$7)$ $a\in\mathbb{I}$  ve  $b\in\mathbb{Q}$ ise $(a,b)=\bigcup \left\{\left(\frac{\lceil a\cdot 10^n\rceil}{10^n},b\right)|n\in\mathbb{N}\right\}$

 

$8)$ $a,b\in\mathbb{I}$  ise $(a,b)=\bigcup \left\{\left(\frac{\lceil a\cdot 10^n\rceil}{10^n},\frac{\lfloor b\cdot 10^n\rfloor}{10^n}\right)|n\in\mathbb{N}\right\}$

 

$9)$ $\mathbb{R}=\bigcup\{(-n,n)|n\in\mathbb{N}\}$

Comments

$6,7$ ve $8$ nolu birleşimlerde pürüzler var. Bunları nasıl gideririz?

---

Onlar, $n$ yi "yeterince" büyük alınca doğru oluyor.

---

Evet hocam dediğiniz gibi $n$'yi yeterince büyük alınca doğru oluyor. Bu haliyle $6$ nolu eşitlikle $a=3,14$ ve $b=\pi$ alırsak $n=1$ için $(a,b)=\left(\frac{314}{100},\frac{31}{10}\right)$ oluyor. Yani aralığın (!) sol ucu sağ ucundan büyük oluyor. Bu durumla karşılaşmamak için burada $n$ sayısını minimum $3$ almalıyız. Bunu bertaraf etmek için de birleşimi şöyle revize edeceğim:

$$(a,b)=\bigcup \left\{\left(a,\frac{\lfloor b\cdot 10^n\rfloor}{10^n}\right)\Big{|}n\in\mathbb{N}, n>\min\left\{n\in\mathbb{N}\Big{|} a <  \frac{\lfloor b\cdot 10^n\rfloor}{10^n}\right\}\right\}$$

$7$ ve $8$ için de benzer revizyonlar yapılabilir. Bu haliyle pürüz giderilmiş oluyor.