Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay, $p\notin X$ ve $X^p=X\cup\{p\}$ olsun. $$\tau^*:=\{T\cup \{p\}|T\in\tau\}\cup\{\emptyset\}$$ ailesinin $X^p$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.

 

Not: Bu $(X^p,\tau^*)$ topolojik uzayına $(X,\tau)$ topolojik uzayının kapalı genişlemesi denir. 

Answer 1

Bos kume $\tau*$ in elemani.

$X \in \tau$. Dolayisiyla $X^p \in \tau*$.

$\tau$ dan alinan sonlu $t_n$ kumelerinin kesimi gene $\tau$ da olmali yoksa elimizde bir topolojik uzay olmazdi.

Birlesimin kesisim uzerine dagilir   $S \cup (A \cap B) = (S\cup A)\cap(S\cup B)$ .

$\tau*$ daki kumeler $\tau$ daki kumeler ile $p$ teklisinin birlesiminden olustugu icin, $\tau*$ aldigimiz bir sonlu $t_n*$ ailesinin kesisimi de $\tau*$ da olacak. Kisaca $\tau*$ aldiginiz $t_n*$ ailesinin, $\tau$ daki orjinaline bakin. Kesisimleri gene $\tau$ da olacak. Kesisimlerinin $\{p\}$ ile birlesimi size $t_n*$ ailesinin kesisimini verecek ve $\tau*$ in elemani olacak.

 

Birlesime su ozelligi saglar   $(S \cup A)\cup (S \cup B) = S \cup (A \cup B)$ . Gene ayni mantikla,

$\tau$ dan algimiz bir $\{t_n\}$ ailesinin birlesimi gene $\tau$ da olmali. Kendisine $T$ diyelim.

Her $t_n$ ile $\{p\}$ kumesini birlestirirsek, sonra da olusan ailenin birlesimine bakarsak elimize, $T \cup \{p\}$ gececek.

$T \cup \{p\}$ $\tau*$ kumesinin elemani, Keza $\{t_n \cup \{p\}\}$ de $\tau*$ in elemani.

 

Boylece topolojinin saglamasi gereke butun ozellikleri gosterdik saniyorum

Comments

@eloi selam. Sen yanıtı yazmışsın. Ben de senin yanıtını formel şekilde yazdım.

Answer 2

$\mathbf{T_1)}$ $\emptyset\in \tau^*$ (Verilmiş). Şimdi $X^p\in\tau^*$ olduğunu gösterelim.

 

$\left.\begin{array}{rr} (X,\tau) \text{ topolojik uzay}\Rightarrow X\in\tau \\ \\ \tau^*:=\{T\cup \{p\}|T\in\tau\}\cup\{\emptyset\} \end{array}\right\}\Rightarrow X^p=X\cup \{p\}\in\tau^*.$

 

$\mathbf{T_2)}$ $A,B\in\tau^*$ olsun. $A=\emptyset$  veya  $B=\emptyset$ durumu bariz. $A\neq\emptyset$ ve $B\neq\emptyset$ durumunu ele alalım.

$\left.\begin{array}{rr} \emptyset\neq A\in\tau^*\Rightarrow (\exists T_1\in\tau)(A=T_1\cup \{p\}) \\ \\ \emptyset\neq B\in\tau^*\Rightarrow (\exists T_2\in\tau)(B=T_2\cup \{p\}) \end{array}\right\}\Rightarrow$
 

$\Rightarrow (T_1\cap T_2\in\tau)(A\cap B=(T_1\cap T_2)\cup \{p\})$
 

$\Rightarrow A\cap B\in\tau^*.$

 

$\mathbf{T_3)}$ $\mathcal{A}\subseteq \tau^*$ olsun. $\emptyset\notin \mathcal{A}$ olduğunu varsaymamızda herhangi bir sakınca yok. (Neden?)

 

$\begin{array}{rcl} \emptyset\notin\mathcal{A}\subseteq \tau^* & \Rightarrow & (\forall A\in\mathcal{A})(\exists T_A\in\tau)(A=T_A\cup \{p\}) \\ \\ & \Rightarrow &  (\mathcal{B}:=\{T_A|A\in\mathcal{A}\}\subseteq\tau)(\bigcup \mathcal{A}=\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A=\bigcup_{A\in\mathcal{A}}(T_A\cup \{p\}))=(\bigcup_{A\in\mathcal{A}}T_A)\cup \{p\}=(\bigcup\mathcal{B})\cup \{p\} \\ \\ & \Rightarrow & (\bigcup\mathcal{B}\in\tau)(\bigcup\mathcal{A}=(\bigcup\mathcal{B})\cup \{p\}) \\ \\ &\Rightarrow & \bigcup\mathcal{A}\in\tau^*.\end{array}$