Question

Her filtre bir ultrafiltreye genişletilebilir. Gösteriniz.

Answer 1

$X\neq \emptyset$ küme ve $\mathcal{F}$, $X$'de bir filtre olsun.
$$\mathcal{F}(X):=\{\mathcal{G}|(\mathcal{F}\subseteq\mathcal{G})(\mathcal{G}, \ X\text{'de filtre})\}$$ ailesi, $\subseteq$ ilişkisi ile birlikte ele alındığında $$(\mathcal{F}(X), \subseteq)$$ yapısı bir poset olur. $(\mathcal{F}(X), \subseteq)$ yapısının bir maksimal elemanına ultrafiltre dendiğine göre "bu yapının bir maksimal elemanı var mıdır?" sorusuna yanıt arayalım. Bunun için Zorn önsavından faydalanacağız.

$\mathcal{C},$  $(\mathcal{F}(X), \subseteq)$ posetinde herhangi bir zincir (chain) olsun. Şimdi bu zincirin bir üstsınırının olduğunu gösterelim.

$\bigcup\mathcal{C}$ ailesi, hem $X$'de bir filtredir hem de $\mathcal{C}$ zincirinin bir üstsınırıdır (Neden?). Keyfi aldığımız bir zincirin üstten sınırlı olduğunu gördük. O halde Zorn önsavı gereğince $(\mathcal{F}(X),\subseteq)$ posetinin bir maksimal elemanı vardır. Bu maksimal eleman da -ultrafiltre tanımı gereği- filtreyi kapsayan bir ultrafiltre olacaktır.