$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A \subseteq Y \subseteq X$ olmak üzere $$cl_Y(A)=cl_X(A)\cap Y$$ olduğunu gösteriniz.

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A \subseteq Z \subseteq X$ olmak üzere

 $cl_Y(A) = cl_X(A)\cap Y$

olduğunu gösteriniz.

Comments

sen neler denedin

Answer 1

$x\in cl_Y(A)$  olsun.

Amacımız $$x\in cl_X(A)\cap Y$$ olduğunu göstermek. $$x\in cl_Y(A)$$ ve $$cl_Y(A)\subseteq Y$$ olduğundan $$x\in Y\ldots (1)$$ olduğu açık. Dolayısıyla $x\in cl_X(A)$ olduğunu göstermek yeterli olacaktır. Bunun için de keyfi bir $U\in O(X,x)$ için $U\cap A\neq\emptyset$ olduğunu göstermeliyiz.

$\left.\begin{array}{r} x\in Y\subseteq X \\ \\ U\in O(X,x) \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{r} U\cap Y\in O(Y,x) \\ \mbox{} \\ x\in cl_Y(A)\end{array}\right\}\Rightarrow (U\cap Y)\cap A\neq\emptyset \!\!\!\!\!\end{array}$

 

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow U\cap (Y\cap A)\neq\emptyset \\ \\ A\subseteq Y\Rightarrow Y\cap A=A\end{array}\right\}\Rightarrow U\cap A\neq\emptyset$

 

O halde $$x\in cl_X(A)\ldots (2)$$

olur. $(1)$ ve $(2)$ nolu bilgilerden de $$x\in cl_X(A)\cap Y$$ elde edilir. Dolayısıyla  $$cl_Y(A)\subseteq cl_X(A)\cap Y\ldots (*)$$ olur.

Şimdi de diğer yönünü gösterelim.

$x\in cl_X(A)\cap Y$  olsun. Amacımız $x\in cl_Y(A)$  olduğunu göstermek. Bunun için de keyfi bir $V\in O(Y,x)$ için $V\cap A\neq \emptyset$ olduğunu göstermek.

 

$x\in cl_X(A)\cap Y\Rightarrow (x\in cl_X(A))(x\in Y)$ 

 

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\forall U\in O(X,x))(U\cap A\neq\emptyset)(x\in Y) \\ \\ V\in O(Y,x)\Rightarrow (\exists W\in O(X,x))(V=W\cap Y)\end{array}\right\}\Rightarrow$

 

$\Rightarrow \emptyset\neq W\cap A=W\cap (A\cap Y)=(W\cap Y)\cap A=V\cap A.$

 

O halde $$x\in cl_Y(A)$$ elde edilir. Dolayısıyla $$cl_X(A)\cap Y\subseteq cl_Y(A)\ldots (**)$$ olur.

$$(*),(**)\Rightarrow cl_Y(A)=cl_X(A)\cap Y.$$

 

Not: $O(X,x):=\{U|x\in U\in\tau\}$