Kompakt Uzayların Karakterizasyonuna Dair-3

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere

$$(X,\tau), \text{ kompakt uzay}\Leftrightarrow \forall\mathcal{A}[(\mathcal{A}\subseteq \mathcal{C}(X,\tau))(\mathcal{A}, \text{ s.k.ö.})\Rightarrow \cap\mathcal{A}\neq \emptyset]$$
olduğunu gösteriniz.

 
Yani bir $(X,\tau)$ topolojik uzayının kompakt olması için gerek ve yeter koşul uzayın kapalılar ailesinin sonlu kesişim özelliğine sahip her altailesinin arakesitinin boştan farklı olmasıdır.

Not: $X\neq\emptyset$  ve  $\mathcal{A}\subseteq 2^X$ olmak üzere $\mathcal{A}$ ailesinin sonlu her altailesinin kesişimi boştan farklı ise $\mathcal{A}$ ailesi sonlu kesişim özelliğine (s.k.ö.) sahiptir denir. 

Biçimsel olarak

$$(X\neq\emptyset)(\mathcal{A}\subseteq 2^X)$$

$$:\Rightarrow$$

$$\mathcal{A}, \text{ s.k.ö.}:\Leftrightarrow (\forall \mathcal{A}^*\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0\Rightarrow \cap\mathcal{A}^*\neq\emptyset)$$ şeklinde ifade edilir.

Answer 1

Bir $\left( X,\tau \right)$ topolojik uzayının kompakt uzay olması için gerek ve yeter koşul uzayın kapalılar ailesinin sonlu kesişim özelliğine sahip her altailesinin kesişiminin boştan farklı olmasıdır.

Biçimsel olarak
$$\begin{equation*} \begin{array}{c} (X,\tau ),\text{ topolojik uzay} \\ :\Rightarrow \\ (X,\tau ),\text{ kompakt uzay}\Leftrightarrow \forall \mathcal{A}\left[ \left( \mathcal{A}\subseteq \mathcal{C}(X,\tau )\right) \left( \mathcal{A},% \text{ s.k.ö.}\right) \Rightarrow \cap \mathcal{A}\neq \emptyset \right]% \end{array}% \end{equation*}$$
şeklinde ifade edilir.

$$\begin{equation*} \begin{array}{c} \underset{p}{\underbrace{\left( \mathcal{A}\subseteq \mathcal{C}(X,\tau )\right) }}\underset{q}{\underbrace{\left( \mathcal{A},\text{ s.k.ö.}% \right) }}\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{\cap \mathcal{A}\neq \emptyset }} \end{array}% \end{equation*}$$ ve
$$\begin{equation*} \begin{array}{c} \left( p\wedge q\right) \Rightarrow r\equiv \left( p\wedge r^{\prime }\right) \Rightarrow q^{\prime } \end{array} \end{equation*}$$ olduğundan
$$\begin{equation*} \begin{array}{c} ``\left( \mathcal{A}\subseteq \mathcal{C}(X,\tau )\right) \left( \mathcal{A}, \text{ s.k.ö.}\right) \Rightarrow \cap \mathcal{A}\neq \emptyset " \end{array} \end{equation*}$$ önermesi ile
$$\begin{equation*} \begin{array}{c} ``\left( \mathcal{A}\subseteq \mathcal{C}(X,\tau )\right) \left( \cap \mathcal{A}=\emptyset \right) \Rightarrow \mathcal{A},\text{ s.k.ö. değil}" \end{array} \end{equation*}$$ önermesi denk önermelerdir. Dolayısıyla
$$\begin{equation*} \begin{array}{c} \left( \mathcal{A}\subseteq \mathcal{C}(X,\tau)\right) \left( \cap \mathcal{A}=\emptyset \right) \Rightarrow \mathcal{A}, \text{ s.k.ö. değil}" \end{array} \end{equation*}$$ önermesinin doğru olduğunu göstermek yeterli olacaktır.

 

$\left( \Rightarrow \right) :$ $\left( X,\tau \right)$ kompakt uzay, $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{C}\left( X,\tau \right)$ ve $\cap \mathcal{A}=\emptyset$ olsun.

$\left. \begin{array}{r} \left( \mathcal{A}\subseteq \mathcal{C}(X,\tau )\right) \left( \cap \mathcal{A}=\emptyset \right) \\ \\ \mathcal{B}:=\left\{ \setminus A|A\in \mathcal{A}\right\}% \end{array} \right\} \Rightarrow \!\!\! \begin{array}{c} \mbox{} \\ \mbox{} \\ \left. \begin{array}{c} \left( \mathcal{B}\subseteq \tau \right) \left( X=\setminus \emptyset =\setminus \left( \cap \mathcal{A}\right) =\cup \mathcal{B}\right) \\ \\ (X,\tau ),\text{ kompakt uzay}\Rightarrow X, \tau\text{-kompakt} \end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$

$\mbox{}$
$\left. \begin{array}{r} \Rightarrow \left(\exists \mathcal{B}^{\ast }\subseteq \mathcal{B}\right) ( \left\vert \mathcal{B}^{\ast }\right\vert <\aleph _{0})(X=\cup \mathcal{B}^{\ast }) \\ \\ \mathcal{A}^{\ast }:=\left\{ A|\setminus A\in \mathcal{B}^{\ast }\right\} \end{array} \right\} \Rightarrow \left( \mathcal{A}^{\ast }\subseteq \mathcal{A}\right) \left( \left\vert \mathcal{A}^{\ast }\right\vert <\aleph _{0}\right) \left( \cap \mathcal{A}^{\ast }=\emptyset \right) \!\!\!\!\!$

$\mbox{}$
$\left. \begin{array}{c} \Rightarrow \mathcal{A},\text{ s.k.ö. değil.} \end{array} \right.$

$\mbox{}$

$\left( \Leftarrow \right) :$ $\mathcal{A}\subseteq \tau$ ve $X=\cup \mathcal{A}$  yani $\mathcal{A}$ ailesi, $X$ kümesinin bir $\tau$-açık örtüsü olsun.

$\left. \begin{array}{r} \left( \mathcal{A}\subseteq \tau \right) \left( X=\cup \mathcal{A}\right) \\ \\ \mathcal{B}:=\left\{ \setminus A|A\in \mathcal{A}\right\} \end{array}\right\} \Rightarrow \begin{array}{c} \mbox{} \\ \mbox{} \\ \left. \begin{array}{r} \left( \mathcal{B}\subseteq \mathcal{C}(X,\tau )\right) \left( \cap \mathcal{B}=\setminus \left( \cup \mathcal{A}\right) =\setminus X=\emptyset \right) \\ \\ \text{Hipotez} \end{array} \right\} \Rightarrow\end{array}$

$\mbox{}$
$\left. \begin{array}{r} \Rightarrow \mathcal{B},\text{ s.k.ö. değil}\Rightarrow \left( \exists \mathcal{B}^{\ast }\subseteq \mathcal{B}\right) \left( \left\vert \mathcal{B}^{\ast }\right\vert <\aleph _{0}\right) \left( \cap \mathcal{B}% ^{\ast }=\emptyset \right) \\ \\ \mathcal{A}^{\ast }:=\left\{ \setminus A|A\in \mathcal{B}^{\ast }\right\}% \end{array} \right\} \Rightarrow$

$\mbox{}$
$\left. \begin{array}{c} \Rightarrow \left( \mathcal{A}^{\ast }\subseteq \mathcal{A}\right) \left( \left\vert \mathcal{A}^{\ast }\right\vert <\aleph _{0}\right) \left( X=\setminus \emptyset =\setminus \left( \cap \mathcal{B}^{\ast }\right) =% \underset{A\in \mathcal{B}^{\ast }}{\cup }(\setminus A)=\cup \mathcal{A}% ^{\ast }\right) . \end{array} \right.$